Giải tích Ví dụ

$\ln (x^{x})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x^{x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{x}]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\ln (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{x}]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x^{x}$ .

$\frac{1}{x^{x}} \frac{d}{d x} [x^{x}]$

Bước 2

Sử dụng các tính chất của logarit để rút gọn đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại $x^{x}$ ở dạng $e^{\ln (x^{x})}$ .

$\frac{1}{x^{x}} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{x})}]$

Bước 2.2

Khai triển $\ln (x^{x})$ bằng cách di chuyển $x$ ra bên ngoài lôgarit.

$\frac{1}{x^{x}} \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = x \ln (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x \ln (x)$ .

$\frac{1}{x^{x}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ là $a^{u_{2}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{1}{x^{x}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x \ln (x)$ .

$\frac{1}{x^{x}} (e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

Bước 4

Kết hợp $e^{x \ln (x)}$ và $\frac{1}{x^{x}}$ .

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Bước 5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 6

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 7.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 7.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 7.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Bước 7.4

Nhân $\ln (x)$ với $1$ .

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} (1 + \ln (x))$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} \cdot 1 + \frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} \ln (x)$

Bước 8.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Nhân $\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}}$ với $1$ .

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} + \frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} \ln (x)$

Bước 8.2.2

Kết hợp $\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}}$ và $\ln (x)$ .

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} + \frac{e^{x \ln (x)} \ln (x)}{x^{x}}$