Giải tích Ví dụ

${(\sqrt{x})}^{x}$

Bước 1

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{x}]$

Bước 1.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} x}]$

Bước 1.2.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{x}{2}}]$

Bước 2

Sử dụng các tính chất của logarit để rút gọn đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại $x^{\frac{x}{2}}$ ở dạng $e^{\ln (x^{\frac{x}{2}})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\frac{x}{2}})}]$

Bước 2.2

Khai triển $\ln (x^{\frac{x}{2}})$ bằng cách di chuyển $\frac{x}{2}$ ra bên ngoài lôgarit.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2} \ln (x)}]$

Bước 3

Kết hợp $\frac{x}{2}$ và $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{x \ln (x)}{2}}]$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = \frac{x \ln (x)}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{x \ln (x)}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x \ln (x)}{2}]$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x \ln (x)}{2}]$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{x \ln (x)}{2}$ .

$e^{\frac{x \ln (x)}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x \ln (x)}{2}]$

Bước 5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x \ln (x)}{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$e^{\frac{x \ln (x)}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

Bước 5.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $e^{\frac{x \ln (x)}{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Bước 6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 7

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 8.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 8.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 8.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Bước 8.4

Nhân $\ln (x)$ với $1$ .

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} (1 + \ln (x))$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} \ln (x)$

Bước 9.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Nhân $\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2}$ với $1$ .

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} + \frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} \ln (x)$

Bước 9.2.2

Kết hợp $\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2}$ và $\ln (x)$ .

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} + \frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}} \ln (x)}{2}$