Giải tích Ví dụ

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của ${\displaystyle x^3+3x^{2}y+y^3}$ đối với ${\displaystyle x}$ là ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^3\right]+\frac{d}{dx}\left[3x^{2}y\right]+\frac{d}{dx}\left[y^3\right]}$.

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ là ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ trong đó ${\displaystyle n=3}$.

Vì ${\displaystyle 3}$ không đổi đối với ${\displaystyle x}$, nên đạo hàm của ${\displaystyle 3x^{2}y}$ đối với ${\displaystyle x}$ là ${\displaystyle 3\frac{d}{dx}\left[x^{2}y\right]}$.

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)g\left(x\right)\right]}$ là ${\displaystyle f\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[g\left(x\right)\right]+g\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)\right]}$ trong đó ${\displaystyle f\left(x\right)=x^2}$ và ${\displaystyle g\left(x\right)=y}$.

Viết lại ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[y\right]}$ ở dạng ${\displaystyle y\mathrm{<mo>\prime </mo>}}$.

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ là ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ trong đó ${\displaystyle n=2}$.

Di chuyển ${\displaystyle 2}$ sang phía bên trái của ${\displaystyle y}$.

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ là ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$ trong đó ${\displaystyle f\left(x\right)=x^3}$ và ${\displaystyle g\left(x\right)=y}$.

Viết lại ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[y\right]}$ ở dạng ${\displaystyle y\mathrm{<mo>\prime </mo>}}$.

Áp dụng thuộc tính phân phối.

Nhân ${\displaystyle 2}$ với ${\displaystyle 3}$.

Sắp xếp lại các số hạng.

Trừ ${\displaystyle 3x^2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

Trừ ${\displaystyle 6xy}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

Đưa ${\displaystyle 3y\mathrm{<mo>\prime </mo>}}$ ra ngoài ${\displaystyle 3x^{2}y\mathrm{<mo>\prime </mo>}}$.

Đưa ${\displaystyle 3y\mathrm{<mo>\prime </mo>}}$ ra ngoài ${\displaystyle 3y^{2}y\mathrm{<mo>\prime </mo>}}$.

Đưa ${\displaystyle 3y\mathrm{<mo>\prime </mo>}}$ ra ngoài ${\displaystyle 3y\mathrm{<mo>\prime </mo>}{x}^2+3y\mathrm{<mo>\prime </mo>}{y}^2}$.

Chia mỗi số hạng trong ${\displaystyle 3y\mathrm{<mo>\prime </mo>}(x^2+y^2)=-3x^2-6xy}$ cho ${\displaystyle 3(x^2+y^2)}$.

Rút gọn vế trái.

Rút gọn vế phải.

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng ${\displaystyle 0}$, toàn bộ biểu thức sẽ bằng ${\displaystyle 0}$.

Đặt ${\displaystyle x}$ bằng với ${\displaystyle 0}$.

Đặt ${\displaystyle x+2y}$ bằng ${\displaystyle 0}$ và giải tìm ${\displaystyle x}$.

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho ${\displaystyle x(x+2y)=0}$ đúng.

Rút gọn mỗi số hạng.

Kết hợp các số hạng đối nhau trong ${\displaystyle 0+0+y^3}$.

Viết lại ${\displaystyle 8}$ ở dạng ${\displaystyle 2^3}$.

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai lập phương, ${\displaystyle a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)}$ trong đó ${\displaystyle a=y}$ và ${\displaystyle b=2}$.

Rút gọn.

Đặt ${\displaystyle y-2}$ bằng với ${\displaystyle 0}$.

Cộng ${\displaystyle 2}$ cho cả hai vế của phương trình.

Đặt ${\displaystyle y^2+2y+4}$ bằng với ${\displaystyle 0}$.

Giải ${\displaystyle y^2+2y+4=0}$ để tìm ${\displaystyle y}$.

Rút gọn mỗi số hạng.

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Chia mỗi số hạng trong ${\displaystyle 5y^3=8}$ cho ${\displaystyle 5}$.

Rút gọn vế trái.

Viết lại ${\displaystyle \sqrt[3]{\frac{8}{5}}}$ ở dạng ${\displaystyle \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{5}}}$.