Giải tích Ví dụ

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 1$

Bước 1

Thiết lập $y$ ở dạng một hàm số của $x$ .

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{3} - 3 x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3 x^{2}$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.2.3

Nhân $2$ với $- 3$ .

$3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$3 x^{2} - 6 x + 0$

Bước 2.3.2

Cộng $3 x^{2} - 6 x$ và $0$ .

$3 x^{2} - 6 x$

Bước 3

Đặt đạo hàm bằng $0$ sau đó giải phương trình $3 x^{2} - 6 x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đưa $3 x$ ra ngoài $3 x^{2} - 6 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Đưa $3 x$ ra ngoài $3 x^{2}$ .

$3 x (x) - 6 x = 0$

Bước 3.1.2

Đưa $3 x$ ra ngoài $- 6 x$ .

$3 x (x) + 3 x (- 2) = 0$

Bước 3.1.3

Đưa $3 x$ ra ngoài $3 x (x) + 3 x (- 2)$ .

$3 x (x - 2) = 0$

Bước 3.2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

Bước 3.3

Đặt $x$ bằng với $0$ .

$x = 0$

Bước 3.4

Đặt $x - 2$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Đặt $x - 2$ bằng với $0$ .

$x - 2 = 0$

Bước 3.4.2

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 2$

Bước 3.5

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $3 x (x - 2) = 0$ đúng.

$x = 0, 2$

Bước 4

Giải hàm số ban đầu $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ tại $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f (0) = {(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} + 1$

Bước 4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f (0) = 0 - 3 {(0)}^{2} + 1$

Bước 4.2.1.2

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f (0) = 0 - 3 \cdot 0 + 1$

Bước 4.2.1.3

Nhân $- 3$ với $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 1$

Bước 4.2.2

Rút gọn bằng cách cộng các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Cộng $0$ và $0$ .

$f (0) = 0 + 1$

Bước 4.2.2.2

Cộng $0$ và $1$ .

$f (0) = 1$

Bước 4.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $1$ .

$1$

Bước 5

Giải hàm số ban đầu $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ tại $x = 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay thế biến $x$ bằng $2$ trong biểu thức.

$f (2) = {(2)}^{3} - 3 {(2)}^{2} + 1$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$f (2) = 8 - 3 {(2)}^{2} + 1$

Bước 5.2.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$f (2) = 8 - 3 \cdot 4 + 1$

Bước 5.2.1.3

Nhân $- 3$ với $4$ .

$f (2) = 8 - 12 + 1$

Bước 5.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Trừ $12$ khỏi $8$ .

$f (2) = - 4 + 1$

Bước 5.2.2.2

Cộng $- 4$ và $1$ .

$f (2) = - 3$

Bước 5.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 3$ .

$- 3$

Bước 6

Các đường tiếp tuyến ngang trên hàm $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ là $y = 1, y = - 3$ .

$y = 1, y = - 3$

Bước 7