Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{3} | x - 1 | d x$

Bước 1

Tách tích phân tùy thuộc vào nơi $x - 1$ dương và âm.

$\int_{0}^{1} - x + 1 d x + \int_{1}^{3} x - 1 d x$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{0}^{1} - x d x + \int_{0}^{1} d x + \int_{1}^{3} x - 1 d x$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} d x + \int_{1}^{3} x - 1 d x$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} d x + \int_{1}^{3} x - 1 d x$

Bước 5

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} d x + \int_{1}^{3} x - 1 d x$

Bước 6

Áp dụng quy tắc hằng số.

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + x]_{0}^{1} + \int_{1}^{3} x - 1 d x$

Bước 7

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + x]_{0}^{1} + \int_{1}^{3} x d x + \int_{1}^{3} - 1 d x$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + x]_{0}^{1} + \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} - 1 d x$

Bước 9

Áp dụng quy tắc hằng số.

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + x]_{0}^{1} + \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{3} + - x]_{1}^{3}$

Bước 10

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Kết hợp $\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{3}$ và $- x]_{1}^{3}$ .

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + x]_{0}^{1} + \frac{1}{2} x^{2} - x]_{1}^{3}$

Bước 10.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Tính $\frac{x^{2}}{2}$ tại $1$ và tại $0$ .

$- ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + x]_{0}^{1} + \frac{1}{2} x^{2} - x]_{1}^{3}$

Bước 10.2.2

Tính $x$ tại $1$ và tại $0$ .

$- (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 1 + 0 + \frac{1}{2} x^{2} - x]_{1}^{3}$

Bước 10.2.3

Tính $\frac{1}{2} x^{2} - x$ tại $3$ và tại $1$ .

$- (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 1 + 0 + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Bước 10.2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.4.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 1 + 0 + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Bước 10.2.4.2

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$- (\frac{1}{2} - \frac{0}{2}) + 1 + 0 + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Bước 10.2.4.3

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.4.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$- (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + 1 + 0 + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Bước 10.2.4.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.4.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$- (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 1 + 0 + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Bước 10.2.4.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 1 + 0 + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Bước 10.2.4.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$- (\frac{1}{2} - \frac{0}{1}) + 1 + 0 + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Bước 10.2.4.3.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$- (\frac{1}{2} - 0) + 1 + 0 + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Bước 10.2.4.4

Nhân $- 1$ với $0$ .

$- (\frac{1}{2} + 0) + 1 + 0 + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Bước 10.2.4.5

Cộng $\frac{1}{2}$ và $0$ .

$- \frac{1}{2} + 1 + 0 + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Bước 10.2.4.6

Cộng $1$ và $0$ .

$- \frac{1}{2} + 1 + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Bước 10.2.4.7

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$- \frac{1}{2} + \frac{2}{2} + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Bước 10.2.4.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 1 + 2}{2} + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Bước 10.2.4.9

Cộng $- 1$ và $2$ .

$\frac{1}{2} + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Bước 10.2.4.10

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 9 - 1 \cdot 3 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Bước 10.2.4.11

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $9$ .

$\frac{1}{2} + \frac{9}{2} - 1 \cdot 3 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Bước 10.2.4.12

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{1}{2} + \frac{9}{2} - 3 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Bước 10.2.4.13

Để viết $- 3$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{9}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Bước 10.2.4.14

Kết hợp $- 3$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{9}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Bước 10.2.4.15

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} + \frac{9 - 3 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Bước 10.2.4.16

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.4.16.1

Nhân $- 3$ với $2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{9 - 6}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Bước 10.2.4.16.2

Trừ $6$ khỏi $9$ .

$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Bước 10.2.4.17

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1)$

Bước 10.2.4.18

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} - 1 \cdot 1)$

Bước 10.2.4.19

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} - 1)$

Bước 10.2.4.20

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})$

Bước 10.2.4.21

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})$

Bước 10.2.4.22

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

Bước 10.2.4.23

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.4.23.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - \frac{1 - 2}{2}$

Bước 10.2.4.23.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - \frac{- 1}{2}$

Bước 10.2.4.24

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - - \frac{1}{2}$

Bước 10.2.4.25

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

Bước 10.2.4.26

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} + \frac{1}{2}$

Bước 10.2.4.27

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} + \frac{3 + 1}{2}$

Bước 10.2.4.28

Cộng $3$ và $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{4}{2}$

Bước 10.2.4.29

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.4.29.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}$

Bước 10.2.4.29.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.4.29.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Bước 10.2.4.29.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Bước 10.2.4.29.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} + \frac{2}{1}$

Bước 10.2.4.29.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$\frac{1}{2} + 2$

Bước 10.2.4.30

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}$

Bước 10.2.4.31

Kết hợp $2$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}$

Bước 10.2.4.32

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1 + 2 \cdot 2}{2}$

Bước 10.2.4.33

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.4.33.1

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{1 + 4}{2}$

Bước 10.2.4.33.2

Cộng $1$ và $4$ .

$\frac{5}{2}$

Bước 11

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{5}{2}$

Dạng thập phân:

$2.5$

Dạng hỗn số:

$2 \frac{1}{2}$

Bước 12