Giải tích Ví dụ

$\int \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 4}} d x$

Bước 1

Giả sử $x = 2 \tan (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d x = 2 \sec^{2} (t) d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $2 \sec^{2} (t)$ dương.

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2} + 4}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Bước 2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn $\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2} + 4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 \tan (t)$ .

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{2^{2} \tan^{2} (t) + 4}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Bước 2.1.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \tan^{2} (t) + 4}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Bước 2.1.2

Đưa $4$ ra ngoài $4 \tan^{2} (t) + 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 \tan^{2} (t)$ .

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 (\tan^{2} (t)) + 4}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Bước 2.1.2.2

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 (\tan^{2} (t)) + 4 (1)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Bước 2.1.2.3

Đưa $4$ ra ngoài $4 (\tan^{2} (t)) + 4 (1)$ .

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 (\tan^{2} (t) + 1)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Bước 2.1.3

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \sec^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Bước 2.1.4

Viết lại $4 \sec^{2} (t)$ ở dạng ${(2 \sec (t))}^{2}$ .

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2}}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Bước 2.1.5

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{2 \sec (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Bước 2.2

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2 \sec (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Đưa $2 \sec (t)$ ra ngoài $2 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) (\sec (t))) d t$

Bước 2.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \sec (t)) d t$

Bước 2.2.1.3

Viết lại biểu thức.

$\int {(2 \tan (t))}^{3} \sec (t) d t$

Bước 2.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \tan (t)$ .

$\int {(2 (\tan (t)))}^{3} \sec (t) d t$

Bước 2.2.2.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 (\tan (t))$ .

$\int 2^{3} \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Bước 2.2.2.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$\int 8 \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Bước 3

Vì $8$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $8$ ra khỏi tích phân.

$8 \int \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Bước 4

Nâng $\sec (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$8 \int \tan^{3} (t) \sec^{1} (t) d t$

Bước 5

Đưa $\tan^{2} (t)$ ra ngoài.

$8 \int \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

Bước 6

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\tan^{2} (t)$ ở dạng $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$8 \int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

Bước 7

Rút gọn.

$8 \int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec (t) d t$

Bước 8

Giả sử $u = \sec (t)$ . Sau đó $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ , nên $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Hãy đặt $u = \sec (t)$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Tính đạo hàm $\sec (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

Bước 8.1.2

Đạo hàm của $\sec (t)$ đối với $t$ là $\sec (t) \tan (t)$ .

$\sec (t) \tan (t)$

Bước 8.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$8 \int - 1 + u^{2} d u$

Bước 9

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$8 (\int - 1 d u + \int u^{2} d u)$

Bước 10

Áp dụng quy tắc hằng số.

$8 (- u + C + \int u^{2} d u)$

Bước 11

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{2}$ đối với $u$ là $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$8 (- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $u^{3}$ .

$8 (- u + C + \frac{u^{3}}{3} + C)$

Bước 12.2

Rút gọn.

$8 (- u + \frac{1}{3} u^{3}) + C$

Bước 13

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\sec (t)$ .

$8 (- \sec (t) + \frac{1}{3} \sec^{3} (t)) + C$

Bước 13.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$8 (- \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

Bước 14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1.1

Vẽ một hình tam giác trong mặt phẳng với các đỉnh $(1, \frac{x}{2})$ , $(1, 0)$ , và gốc tọa độ. Khi đó $\arctan (\frac{x}{2})$ là góc giữa trục x dương và tia bắt đầu tại điểm gốc tọa độ và đi qua $(1, \frac{x}{2})$ . Do đó, $\sec (\arctan (\frac{x}{2}))$ là $\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}$ .

$8 (- \sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

Bước 14.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{x}{2}$ .

$8 (- \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{2^{2}}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

Bước 14.1.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$8 (- \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

Bước 14.1.4

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$8 (- \sqrt{\frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

Bước 14.1.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$8 (- \sqrt{\frac{4 + x^{2}}{4}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

Bước 14.1.6

Viết lại $\frac{4 + x^{2}}{4}$ ở dạng ${(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1.6.1

Đưa lũy thừa hoàn hảo $1^{2}$ ra ngoài $4 + x^{2}$ .

$8 (- \sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{4}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

Bước 14.1.6.2

Đưa lũy thừa hoàn hảo $2^{2}$ ra ngoài $4$ .

$8 (- \sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

Bước 14.1.6.3

Sắp xếp lại phân số $\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}$ .

$8 (- \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

Bước 14.1.7

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$8 (- (\frac{1}{2} \sqrt{4 + x^{2}}) + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

Bước 14.1.8

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\sqrt{4 + x^{2}}$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

Bước 14.1.9

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}}^{3}) + C$

Bước 14.1.10

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{x}{2}$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{2^{2}}}}^{3}) + C$

Bước 14.1.11

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4}}}^{3}) + C$

Bước 14.1.12

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{\frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}}}^{3}) + C$

Bước 14.1.13

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{\frac{4 + x^{2}}{4}}}^{3}) + C$

Bước 14.1.14

Viết lại $\frac{4 + x^{2}}{4}$ ở dạng ${(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1.14.1

Đưa lũy thừa hoàn hảo $1^{2}$ ra ngoài $4 + x^{2}$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{4}}}^{3}) + C$

Bước 14.1.14.2

Đưa lũy thừa hoàn hảo $2^{2}$ ra ngoài $4$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}}}^{3}) + C$

Bước 14.1.14.3

Sắp xếp lại phân số $\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})}}^{3}) + C$

Bước 14.1.15

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {(\frac{1}{2} \sqrt{4 + x^{2}})}^{3}) + C$

Bước 14.1.16

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\sqrt{4 + x^{2}}$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {(\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2})}^{3}) + C$

Bước 14.1.17

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2}$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{{\sqrt{4 + x^{2}}}^{3}}{2^{3}}) + C$

Bước 14.1.18

Kết hợp.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1 {\sqrt{4 + x^{2}}}^{3}}{3 \cdot 2^{3}}) + C$

Bước 14.1.19

Nhân ${\sqrt{4 + x^{2}}}^{3}$ với $1$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{{\sqrt{4 + x^{2}}}^{3}}{3 \cdot 2^{3}}) + C$

Bước 14.1.20

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{{\sqrt{4 + x^{2}}}^{3}}{3 \cdot 8}) + C$

Bước 14.1.21

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1.21.1

Viết lại ${\sqrt{4 + x^{2}}}^{3}$ ở dạng $\sqrt{{(4 + x^{2})}^{3}}$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{{(4 + x^{2})}^{3}}}{3 \cdot 8}) + C$

Bước 14.1.21.2

Đưa ${(4 + x^{2})}^{2}$ ra ngoài.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{{(4 + x^{2})}^{2} (4 + x^{2})}}{3 \cdot 8}) + C$

Bước 14.1.21.3

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{(4 + x^{2}) \sqrt{4 + x^{2}}}{3 \cdot 8}) + C$

Bước 14.1.21.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{4 \sqrt{4 + x^{2}} + x^{2} \sqrt{4 + x^{2}}}{3 \cdot 8}) + C$

Bước 14.1.21.5

Đưa $\sqrt{4 + x^{2}}$ ra ngoài $4 \sqrt{4 + x^{2}} + x^{2} \sqrt{4 + x^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1.21.5.1

Đưa $\sqrt{4 + x^{2}}$ ra ngoài $4 \sqrt{4 + x^{2}}$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{4 + x^{2}} \cdot 4 + x^{2} \sqrt{4 + x^{2}}}{3 \cdot 8}) + C$

Bước 14.1.21.5.2

Đưa $\sqrt{4 + x^{2}}$ ra ngoài $x^{2} \sqrt{4 + x^{2}}$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{4 + x^{2}} \cdot 4 + \sqrt{4 + x^{2}} x^{2}}{3 \cdot 8}) + C$

Bước 14.1.21.5.3

Đưa $\sqrt{4 + x^{2}}$ ra ngoài $\sqrt{4 + x^{2}} \cdot 4 + \sqrt{4 + x^{2}} x^{2}$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{3 \cdot 8}) + C$

Bước 14.1.22

Nhân $3$ với $8$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{24}) + C$

Bước 14.2

Để viết $- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{12}{12}$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} \cdot \frac{12}{12} + \frac{\sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{24}) + C$

Bước 14.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $24$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.1

Nhân $\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2}$ với $\frac{12}{12}$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12}{2 \cdot 12} + \frac{\sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{24}) + C$

Bước 14.3.2

Nhân $2$ với $12$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12}{24} + \frac{\sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{24}) + C$

Bước 14.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$8 \frac{- \sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12 + \sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{24} + C$

Bước 14.5

Triệt tiêu thừa số chung $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.5.1

Đưa $8$ ra ngoài $24$ .

$8 \frac{- \sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12 + \sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{8 (3)} + C$

Bước 14.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$8 \frac{- \sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12 + \sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{8 \cdot 3} + C$

Bước 14.5.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- \sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12 + \sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{3} + C$

Bước 14.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.6.1

Đưa $\sqrt{4 + x^{2}}$ ra ngoài $- \sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12 + \sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.6.1.1

Đưa $\sqrt{4 + x^{2}}$ ra ngoài $- \sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} (- 1 \cdot 12) + \sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{3} + C$

Bước 14.6.1.2

Đưa $\sqrt{4 + x^{2}}$ ra ngoài $\sqrt{4 + x^{2}} (- 1 \cdot 12) + \sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} (- 1 \cdot 12 + 4 + x^{2})}{3} + C$

Bước 14.6.2

Nhân $- 1$ với $12$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} (- 12 + 4 + x^{2})}{3} + C$

Bước 14.6.3

Cộng $- 12$ và $4$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} (- 8 + x^{2})}{3} + C$

Bước 14.7

Viết lại $- 8$ ở dạng $- 1 (8)$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} (- 1 (8) + x^{2})}{3} + C$

Bước 14.8

Đưa $- 1$ ra ngoài $x^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} (- 1 (8) - 1 (- x^{2}))}{3} + C$

Bước 14.9

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (8) - 1 (- x^{2})$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} (- 1 (8 - x^{2}))}{3} + C$

Bước 14.10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{\sqrt{4 + x^{2}} (8 - x^{2})}{3} + C$