Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{1} x^{9} {(1 + x^{10})}^{9} d x$

Bước 1

Giả sử $u = 1 + x^{10}$ . Sau đó $d u = 10 x^{9} d x$ , nên $\frac{1}{10} d u = x^{9} d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 1 + x^{10}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $1 + x^{10}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{10}]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + x^{10}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{10}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{10}]$

Bước 1.1.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{10}]$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 10$ .

$0 + 10 x^{9}$

Bước 1.1.5

Cộng $0$ và $10 x^{9}$ .

$10 x^{9}$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 1 + x^{10}$ .

$u_{lower} = 1 + 0^{10}$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Bước 1.3.2

Cộng $1$ và $0$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 1 + x^{10}$ .

$u_{upper} = 1 + 1^{10}$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$u_{upper} = 1 + 1$

Bước 1.5.2

Cộng $1$ và $1$ .

$u_{upper} = 2$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{1}^{2} u^{9} \frac{1}{10} d u$

Bước 2

Kết hợp $u^{9}$ và $\frac{1}{10}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{u^{9}}{10} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{10}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{10}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{10} \int_{1}^{2} u^{9} d u$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{9}$ đối với $u$ là $\frac{1}{10} u^{10}$ .

$\frac{1}{10} \frac{1}{10} u^{10}]_{1}^{2}$

Bước 5

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tính $\frac{1}{10} u^{10}$ tại $2$ và tại $1$ .

$\frac{1}{10} ((\frac{1}{10} \cdot 2^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 1^{10})$

Bước 5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $10$ .

$\frac{1}{10} (\frac{1}{10} \cdot 1024 - \frac{1}{10} \cdot 1^{10})$

Bước 5.2.2

Kết hợp $\frac{1}{10}$ và $1024$ .

$\frac{1}{10} (\frac{1024}{10} - \frac{1}{10} \cdot 1^{10})$

Bước 5.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $1024$ và $10$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $1024$ .

$\frac{1}{10} (\frac{2 (512)}{10} - \frac{1}{10} \cdot 1^{10})$

Bước 5.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $10$ .

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 512}{2 \cdot 5} - \frac{1}{10} \cdot 1^{10})$

Bước 5.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 512}{2 \cdot 5} - \frac{1}{10} \cdot 1^{10})$

Bước 5.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{10} (\frac{512}{5} - \frac{1}{10} \cdot 1^{10})$

Bước 5.2.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{10} (\frac{512}{5} - \frac{1}{10} \cdot 1)$

Bước 5.2.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{10} (\frac{512}{5} - \frac{1}{10})$

Bước 5.2.6

Để viết $\frac{512}{5}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{10} (\frac{512}{5} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{10})$

Bước 5.2.7

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $10$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.7.1

Nhân $\frac{512}{5}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{10} (\frac{512 \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{1}{10})$

Bước 5.2.7.2

Nhân $5$ với $2$ .

$\frac{1}{10} (\frac{512 \cdot 2}{10} - \frac{1}{10})$

Bước 5.2.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{512 \cdot 2 - 1}{10}$

Bước 5.2.9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.9.1

Nhân $512$ với $2$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{1024 - 1}{10}$

Bước 5.2.9.2

Trừ $1$ khỏi $1024$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{1023}{10}$

Bước 5.2.10

Nhân $\frac{1}{10}$ với $\frac{1023}{10}$ .

$\frac{1023}{10 \cdot 10}$

Bước 5.2.11

Nhân $10$ với $10$ .

$\frac{1023}{100}$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{1023}{100}$

Dạng thập phân:

$10.23$

Dạng hỗn số:

$10 \frac{23}{100}$

Bước 7