Giải tích Ví dụ

$\int \frac{\ln (5 x)}{x} d x$

Bước 1

Giả sử $u_{2} = \ln (5 x)$ . Sau đó $d u_{2} = \frac{1}{x} d x$ , nên $x d u_{2} = d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{2} = \ln (5 x)$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\ln (5 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (5 x)]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = 5 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $5 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]$

Bước 1.1.2.2

Đạo hàm của $\ln (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [5 x]$

Bước 1.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $5 x$ .

$\frac{1}{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.1.3.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.2.1

Kết hợp $5$ và $\frac{1}{5 x}$ .

$\frac{5}{5 x} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5}{5 x} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{x} \cdot 1$

Bước 1.1.3.4

Nhân $\frac{1}{x}$ với $1$ .

$\frac{1}{x}$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\int u_{2} d u_{2}$

Bước 2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u_{2}$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Bước 3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\ln (5 x)$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (5 x) + C$