Giải tích Ví dụ

$\int e^{2 x} {(1 + e^{2 x})}^{3} d x$

Bước 1

Giả sử $u_{2} = 1 + e^{2 x}$ . Sau đó $d u_{2} = 2 e^{2 x} d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{2} = e^{2 x} d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{2} = 1 + e^{2 x}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $1 + e^{2 x}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + e^{2 x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Bước 1.1.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $2 x$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.1.3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$0 + e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.1.3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 x$ .

$0 + e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.1.3.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 + e^{2 x} (2 \cdot 1)$

Bước 1.1.3.4

Nhân $2$ với $1$ .

$0 + e^{2 x} \cdot 2$

Bước 1.1.3.5

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $e^{2 x}$ .

$0 + 2 e^{2 x}$

Bước 1.1.4

Cộng $0$ và $2 e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x}$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\int {u_{2}}^{3} \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 2

Kết hợp ${u_{2}}^{3}$ và $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{{u_{2}}^{3}}{2} d u_{2}$

Bước 3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của ${u_{2}}^{3}$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{4} {u_{2}}^{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C)$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại $\frac{1}{2} (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C)$ ở dạng $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

Bước 5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4} {u_{2}}^{4} + C$

Bước 5.2.2

Nhân $2$ với $4$ .

$\frac{1}{8} {u_{2}}^{4} + C$

Bước 6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $1 + e^{2 x}$ .

$\frac{1}{8} {(1 + e^{2 x})}^{4} + C$