Giải tích Ví dụ

$\int \frac{z}{e^{z}} d z$

Bước 1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Làm âm số mũ của $e^{z}$ và đưa nó ra ngoài mẫu số.

$\int z {(e^{z})}^{- 1} d z$

Bước 1.2

Nhân các số mũ trong ${(e^{z})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int z e^{z \cdot - 1} d z$

Bước 1.2.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $z$ .

$\int z e^{- 1 \cdot z} d z$

Bước 1.2.3

Viết lại $- 1 z$ ở dạng $- z$ .

$\int z e^{- z} d z$

Bước 2

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = z$ và $d v = e^{- z}$ .

$z (- e^{- z}) - \int - e^{- z} d z$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $z$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$z (- e^{- z}) - - \int e^{- z} d z$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$z (- e^{- z}) + 1 \int e^{- z} d z$

Bước 4.2

Nhân $\int e^{- z} d z$ với $1$ .

$z (- e^{- z}) + \int e^{- z} d z$

Bước 5

Giả sử $u = - z$ . Sau đó $d u = - d z$ , nên $- d u = d z$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u = - z$ . Tìm $\frac{d u}{d z}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $- z$ .

$\frac{d}{d z} [- z]$

Bước 5.1.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $z$ , nên đạo hàm của $- z$ đối với $z$ là $- \frac{d}{d z} [z]$ .

$- \frac{d}{d z} [z]$

Bước 5.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ là $n z^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Bước 5.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1$

Bước 5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$z (- e^{- z}) + \int - e^{u} d u$

Bước 6

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$z (- e^{- z}) - \int e^{u} d u$

Bước 7

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$z (- e^{- z}) - (e^{u} + C)$

Bước 8

Viết lại $z (- e^{- z}) - (e^{u} + C)$ ở dạng $- z e^{- z} - e^{u} + C$ .

$- z e^{- z} - e^{u} + C$

Bước 9

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- z$ .

$- z e^{- z} - e^{- z} + C$