Giải tích Ví dụ

$f (x) = e^{7 x^{2} + 3}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 7 x^{2} + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $7 x^{2} + 3$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]$

Bước 1.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $7 x^{2} + 3$ .

$e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $7 x^{2} + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$e^{7 x^{2} + 3} (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])$

Bước 1.2.2

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $7 x^{2}$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{7 x^{2} + 3} (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])$

Bước 1.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$e^{7 x^{2} + 3} (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [3])$

Bước 1.2.4

Nhân $2$ với $7$ .

$e^{7 x^{2} + 3} (14 x + \frac{d}{d x} [3])$

Bước 1.2.5

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$e^{7 x^{2} + 3} (14 x + 0)$

Bước 1.2.6

Cộng $14 x$ và $0$ .

$e^{7 x^{2} + 3} (14 x)$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Sắp xếp lại các thừa số của $e^{7 x^{2} + 3} (14 x)$ .

$14 e^{7 x^{2} + 3} x$

Bước 1.3.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $14 e^{7 x^{2} + 3} x$ .

$f' (x) = 14 x e^{7 x^{2} + 3}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $14$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $14 x e^{7 x^{2} + 3}$ đối với $x$ là $14 \frac{d}{d x} [x e^{7 x^{2} + 3}]$ .

$14 \frac{d}{d x} [x e^{7 x^{2} + 3}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = e^{7 x^{2} + 3}$ .

$14 (x \frac{d}{d x} [e^{7 x^{2} + 3}] + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 7 x^{2} + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $7 x^{2} + 3$ .

$14 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$14 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $7 x^{2} + 3$ .

$14 (x (e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $7 x^{2} + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$14 (x (e^{7 x^{2} + 3} (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.4.2

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $7 x^{2}$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$14 (x (e^{7 x^{2} + 3} (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$14 (x (e^{7 x^{2} + 3} (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [3])) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.4.4

Nhân $2$ với $7$ .

$14 (x (e^{7 x^{2} + 3} (14 x + \frac{d}{d x} [3])) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.4.5

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$14 (x (e^{7 x^{2} + 3} (14 x + 0)) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.4.6

Cộng $14 x$ và $0$ .

$14 (x (e^{7 x^{2} + 3} (14 x)) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.5

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$14 (x^{1} x (e^{7 x^{2} + 3} \cdot (14)) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.6

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$14 (x^{1} x^{1} (e^{7 x^{2} + 3} \cdot (14)) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$14 (x^{1 + 1} (e^{7 x^{2} + 3} \cdot (14)) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.8

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1

Cộng $1$ và $1$ .

$14 (x^{2} (e^{7 x^{2} + 3} \cdot (14)) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.8.2

Di chuyển $14$ sang phía bên trái của $e^{7 x^{2} + 3}$ .

$14 (x^{2} (14 \cdot e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$14 (x^{2} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} \cdot 1)$

Bước 2.10

Nhân $e^{7 x^{2} + 3}$ với $1$ .

$14 (x^{2} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3})$

Bước 2.11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$14 (x^{2} (14 e^{7 x^{2} + 3})) + 14 e^{7 x^{2} + 3}$

Bước 2.11.2

Nhân $14$ với $14$ .

$196 x^{2} e^{7 x^{2} + 3} + 14 e^{7 x^{2} + 3}$

Bước 2.11.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$196 e^{7 x^{2} + 3} x^{2} + 14 e^{7 x^{2} + 3}$

Bước 2.11.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $196 e^{7 x^{2} + 3} x^{2} + 14 e^{7 x^{2} + 3}$ .

$f'' (x) = 196 x^{2} e^{7 x^{2} + 3} + 14 e^{7 x^{2} + 3}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc 3.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $196 x^{2} e^{7 x^{2} + 3} + 14 e^{7 x^{2} + 3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [196 x^{2} e^{7 x^{2} + 3}] + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$ .

$\frac{d}{d x} [196 x^{2} e^{7 x^{2} + 3}] + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [196 x^{2} e^{7 x^{2} + 3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $196$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $196 x^{2} e^{7 x^{2} + 3}$ đối với $x$ là $196 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{7 x^{2} + 3}]$ .

$196 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{7 x^{2} + 3}] + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = e^{7 x^{2} + 3}$ .

$196 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{7 x^{2} + 3}] + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$

Bước 3.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 7 x^{2} + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $7 x^{2} + 3$ .

$196 (x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$

Bước 3.2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$196 (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$

Bước 3.2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $7 x^{2} + 3$ .

$196 (x^{2} (e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$

Bước 3.2.4

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $7 x^{2} + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$196 (x^{2} (e^{7 x^{2} + 3} (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$

Bước 3.2.5

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $7 x^{2}$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$196 (x^{2} (e^{7 x^{2} + 3} (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$

Bước 3.2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$196 (x^{2} (e^{7 x^{2} + 3} (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [3])) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$

Bước 3.2.7

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$196 (x^{2} (e^{7 x^{2} + 3} (7 (2 x) + 0)) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$

Bước 3.2.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$196 (x^{2} (e^{7 x^{2} + 3} (7 (2 x) + 0)) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$

Bước 3.2.9

Nhân $2$ với $7$ .

$196 (x^{2} (e^{7 x^{2} + 3} (14 x + 0)) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$

Bước 3.2.10

Cộng $14 x$ và $0$ .

$196 (x^{2} (e^{7 x^{2} + 3} (14 x)) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$

Bước 3.2.11

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.11.1

Di chuyển $x$ .

$196 (x \cdot x^{2} (e^{7 x^{2} + 3} \cdot (14)) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$

Bước 3.2.11.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.11.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$196 (x^{1} x^{2} (e^{7 x^{2} + 3} \cdot (14)) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$

Bước 3.2.11.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$196 (x^{1 + 2} (e^{7 x^{2} + 3} \cdot (14)) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$

Bước 3.2.11.3

Cộng $1$ và $2$ .

$196 (x^{3} (e^{7 x^{2} + 3} \cdot (14)) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$

Bước 3.2.12

Di chuyển $14$ sang phía bên trái của $e^{7 x^{2} + 3}$ .

$196 (x^{3} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $14$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $14 e^{7 x^{2} + 3}$ đối với $x$ là $14 \frac{d}{d x} [e^{7 x^{2} + 3}]$ .

$196 (x^{3} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + 14 \frac{d}{d x} [e^{7 x^{2} + 3}]$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 7 x^{2} + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $7 x^{2} + 3$ .

$196 (x^{3} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + 14 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3])$

Bước 3.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ là $a^{u_{2}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$196 (x^{3} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + 14 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3])$

Bước 3.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $7 x^{2} + 3$ .

$196 (x^{3} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + 14 (e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3])$

Bước 3.3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $7 x^{2} + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$196 (x^{3} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + 14 (e^{7 x^{2} + 3} (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]))$

Bước 3.3.4

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $7 x^{2}$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$196 (x^{3} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + 14 (e^{7 x^{2} + 3} (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]))$

Bước 3.3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$196 (x^{3} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + 14 (e^{7 x^{2} + 3} (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]))$

Bước 3.3.6

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$196 (x^{3} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + 14 (e^{7 x^{2} + 3} (7 (2 x) + 0))$

Bước 3.3.7

Nhân $2$ với $7$ .

$196 (x^{3} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + 14 (e^{7 x^{2} + 3} (14 x + 0))$

Bước 3.3.8

Cộng $14 x$ và $0$ .

$196 (x^{3} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + 14 (e^{7 x^{2} + 3} (14 x))$

Bước 3.3.9

Nhân $14$ với $14$ .

$196 (x^{3} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + 196 e^{7 x^{2} + 3} x$

Bước 3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$196 (x^{3} (14 e^{7 x^{2} + 3})) + 196 (e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + 196 e^{7 x^{2} + 3} x$

Bước 3.4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Nhân $14$ với $196$ .

$2744 (x^{3} (e^{7 x^{2} + 3})) + 196 (e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + 196 e^{7 x^{2} + 3} x$

Bước 3.4.2.2

Nhân $2$ với $196$ .

$2744 x^{3} e^{7 x^{2} + 3} + 392 (e^{7 x^{2} + 3} (x)) + 196 e^{7 x^{2} + 3} x$

Bước 3.4.2.3

Cộng $392 e^{7 x^{2} + 3} x$ và $196 e^{7 x^{2} + 3} x$ .

$2744 x^{3} e^{7 x^{2} + 3} + 588 e^{7 x^{2} + 3} x$

Bước 3.4.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$2744 e^{7 x^{2} + 3} x^{3} + 588 e^{7 x^{2} + 3} x$

Bước 3.4.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $2744 e^{7 x^{2} + 3} x^{3} + 588 e^{7 x^{2} + 3} x$ .

$f''' (x) = 2744 x^{3} e^{7 x^{2} + 3} + 588 x e^{7 x^{2} + 3}$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc 4.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2744 x^{3} e^{7 x^{2} + 3} + 588 x e^{7 x^{2} + 3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2744 x^{3} e^{7 x^{2} + 3}] + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$ .

$\frac{d}{d x} [2744 x^{3} e^{7 x^{2} + 3}] + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$

Bước 4.2

Tính $\frac{d}{d x} [2744 x^{3} e^{7 x^{2} + 3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Vì $2744$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2744 x^{3} e^{7 x^{2} + 3}$ đối với $x$ là $2744 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{7 x^{2} + 3}]$ .

$2744 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{7 x^{2} + 3}] + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$

Bước 4.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = e^{7 x^{2} + 3}$ .

$2744 (x^{3} \frac{d}{d x} [e^{7 x^{2} + 3}] + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$

Bước 4.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 7 x^{2} + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $7 x^{2} + 3$ .

$2744 (x^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$

Bước 4.2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$2744 (x^{3} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$

Bước 4.2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $7 x^{2} + 3$ .

$2744 (x^{3} (e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$

Bước 4.2.4

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $7 x^{2} + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$2744 (x^{3} (e^{7 x^{2} + 3} (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$

Bước 4.2.5

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $7 x^{2}$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2744 (x^{3} (e^{7 x^{2} + 3} (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$

Bước 4.2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2744 (x^{3} (e^{7 x^{2} + 3} (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [3])) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$

Bước 4.2.7

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$2744 (x^{3} (e^{7 x^{2} + 3} (7 (2 x) + 0)) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$

Bước 4.2.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$2744 (x^{3} (e^{7 x^{2} + 3} (7 (2 x) + 0)) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$

Bước 4.2.9

Nhân $2$ với $7$ .

$2744 (x^{3} (e^{7 x^{2} + 3} (14 x + 0)) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$

Bước 4.2.10

Cộng $14 x$ và $0$ .

$2744 (x^{3} (e^{7 x^{2} + 3} (14 x)) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$

Bước 4.2.11

Nhân $x^{3}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.11.1

Di chuyển $x$ .

$2744 (x \cdot x^{3} (e^{7 x^{2} + 3} \cdot (14)) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$

Bước 4.2.11.2

Nhân $x$ với $x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.11.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$2744 (x^{1} x^{3} (e^{7 x^{2} + 3} \cdot (14)) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$

Bước 4.2.11.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2744 (x^{1 + 3} (e^{7 x^{2} + 3} \cdot (14)) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$

Bước 4.2.11.3

Cộng $1$ và $3$ .

$2744 (x^{4} (e^{7 x^{2} + 3} \cdot (14)) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$

Bước 4.2.12

Di chuyển $14$ sang phía bên trái của $e^{7 x^{2} + 3}$ .

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$

Bước 4.3

Tính $\frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Vì $588$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $588 x e^{7 x^{2} + 3}$ đối với $x$ là $588 \frac{d}{d x} [x e^{7 x^{2} + 3}]$ .

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 \frac{d}{d x} [x e^{7 x^{2} + 3}]$

Bước 4.3.2

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x \frac{d}{d x} [e^{7 x^{2} + 3}] + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 7 x^{2} + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $7 x^{2} + 3$ .

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ là $a^{u_{2}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $7 x^{2} + 3$ .

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x (e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.3.4

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $7 x^{2} + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x (e^{7 x^{2} + 3} (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.3.5

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $7 x^{2}$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x (e^{7 x^{2} + 3} (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x (e^{7 x^{2} + 3} (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [3])) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.3.7

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x (e^{7 x^{2} + 3} (7 (2 x) + 0)) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.3.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x (e^{7 x^{2} + 3} (7 (2 x) + 0)) + e^{7 x^{2} + 3} \cdot 1)$

Bước 4.3.9

Nhân $2$ với $7$ .

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x (e^{7 x^{2} + 3} (14 x + 0)) + e^{7 x^{2} + 3} \cdot 1)$

Bước 4.3.10

Cộng $14 x$ và $0$ .

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x (e^{7 x^{2} + 3} (14 x)) + e^{7 x^{2} + 3} \cdot 1)$

Bước 4.3.11

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x^{1} x (e^{7 x^{2} + 3} \cdot (14)) + e^{7 x^{2} + 3} \cdot 1)$

Bước 4.3.12

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x^{1} x^{1} (e^{7 x^{2} + 3} \cdot (14)) + e^{7 x^{2} + 3} \cdot 1)$

Bước 4.3.13

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x^{1 + 1} (e^{7 x^{2} + 3} \cdot (14)) + e^{7 x^{2} + 3} \cdot 1)$

Bước 4.3.14

Cộng $1$ và $1$ .

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x^{2} (e^{7 x^{2} + 3} \cdot (14)) + e^{7 x^{2} + 3} \cdot 1)$

Bước 4.3.15

Di chuyển $14$ sang phía bên trái của $e^{7 x^{2} + 3}$ .

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x^{2} (14 \cdot e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} \cdot 1)$

Bước 4.3.16

Nhân $e^{7 x^{2} + 3}$ với $1$ .

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x^{2} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3})$

Bước 4.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3})) + 2744 (e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x^{2} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3})$

Bước 4.4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3})) + 2744 (e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x^{2} (14 e^{7 x^{2} + 3})) + 588 e^{7 x^{2} + 3}$

Bước 4.4.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.3.1

Nhân $14$ với $2744$ .

$38416 (x^{4} (e^{7 x^{2} + 3})) + 2744 (e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x^{2} (14 e^{7 x^{2} + 3})) + 588 e^{7 x^{2} + 3}$

Bước 4.4.3.2

Nhân $3$ với $2744$ .

$38416 x^{4} e^{7 x^{2} + 3} + 8232 (e^{7 x^{2} + 3} (x^{2})) + 588 (x^{2} (14 e^{7 x^{2} + 3})) + 588 e^{7 x^{2} + 3}$

Bước 4.4.3.3

Nhân $14$ với $588$ .

$38416 x^{4} e^{7 x^{2} + 3} + 8232 e^{7 x^{2} + 3} x^{2} + 8232 (x^{2} (e^{7 x^{2} + 3})) + 588 e^{7 x^{2} + 3}$

Bước 4.4.3.4

Cộng $8232 e^{7 x^{2} + 3} x^{2}$ và $8232 x^{2} e^{7 x^{2} + 3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.3.4.1

Di chuyển $e^{7 x^{2} + 3}$ .

$38416 x^{4} e^{7 x^{2} + 3} + 8232 x^{2} e^{7 x^{2} + 3} + 8232 x^{2} e^{7 x^{2} + 3} + 588 e^{7 x^{2} + 3}$

Bước 4.4.3.4.2

Cộng $8232 x^{2} e^{7 x^{2} + 3}$ và $8232 x^{2} e^{7 x^{2} + 3}$ .

$38416 x^{4} e^{7 x^{2} + 3} + 16464 x^{2} e^{7 x^{2} + 3} + 588 e^{7 x^{2} + 3}$

Bước 4.4.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$38416 e^{7 x^{2} + 3} x^{4} + 16464 e^{7 x^{2} + 3} x^{2} + 588 e^{7 x^{2} + 3}$

Bước 4.4.5

Sắp xếp lại các thừa số trong $38416 e^{7 x^{2} + 3} x^{4} + 16464 e^{7 x^{2} + 3} x^{2} + 588 e^{7 x^{2} + 3}$ .

$f^{4} (x) = 38416 x^{4} e^{7 x^{2} + 3} + 16464 x^{2} e^{7 x^{2} + 3} + 588 e^{7 x^{2} + 3}$

Bước 5

Căn bậc bốn của $f (x)$ đối với $x$ là $38416 x^{4} e^{7 x^{2} + 3} + 16464 x^{2} e^{7 x^{2} + 3} + 588 e^{7 x^{2} + 3}$ .

$38416 x^{4} e^{7 x^{2} + 3} + 16464 x^{2} e^{7 x^{2} + 3} + 588 e^{7 x^{2} + 3}$