Giải tích Ví dụ

$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 100}} d x$

Bước 1

Giả sử $x = 10 \tan (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d x = 10 \sec^{2} (t) d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $10 \sec^{2} (t)$ dương.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(10 \tan (t))}^{2} + 100}} (10 \sec^{2} (t)) d t$

Bước 2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn $\sqrt{{(10 \tan (t))}^{2} + 100}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $10 \tan (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{10^{2} \tan^{2} (t) + 100}} (10 \sec^{2} (t)) d t$

Bước 2.1.1.2

Nâng $10$ lên lũy thừa $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{100 \tan^{2} (t) + 100}} (10 \sec^{2} (t)) d t$

Bước 2.1.2

Đưa $100$ ra ngoài $100 \tan^{2} (t) + 100$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Đưa $100$ ra ngoài $100 \tan^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{100 (\tan^{2} (t)) + 100}} (10 \sec^{2} (t)) d t$

Bước 2.1.2.2

Đưa $100$ ra ngoài $100$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{100 (\tan^{2} (t)) + 100 (1)}} (10 \sec^{2} (t)) d t$

Bước 2.1.2.3

Đưa $100$ ra ngoài $100 (\tan^{2} (t)) + 100 (1)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{100 (\tan^{2} (t) + 1)}} (10 \sec^{2} (t)) d t$

Bước 2.1.3

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int \frac{1}{\sqrt{100 \sec^{2} (t)}} (10 \sec^{2} (t)) d t$

Bước 2.1.4

Viết lại $100 \sec^{2} (t)$ ở dạng ${(10 \sec (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(10 \sec (t))}^{2}}} (10 \sec^{2} (t)) d t$

Bước 2.1.5

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int \frac{1}{10 \sec (t)} (10 \sec^{2} (t)) d t$

Bước 2.2

Triệt tiêu thừa số chung $10 \sec (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Đưa $10 \sec (t)$ ra ngoài $10 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{10 \sec (t)} (10 \sec (t) (\sec (t))) d t$

Bước 2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{1}{10 \sec (t)} (10 \sec (t) \sec (t)) d t$

Bước 2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int \sec (t) d t$

Bước 3

Tích phân của $\sec (t)$ đối với $t$ là $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$

Bước 4

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $\arctan (\frac{x}{10})$ .

$\ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{10})) + \tan (\arctan (\frac{x}{10})) |) + C$

Bước 5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\ln (| \sec (\arctan (\frac{1}{10} x)) + \tan (\arctan (\frac{1}{10} x)) |) + C$