Giải tích Ví dụ

$2 x y + y^{2} = x + y$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (2 x y + y^{2}) = \frac{d}{d x} (x + y)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x y + y^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x y$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = y$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Bước 2.2.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Bước 2.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Bước 2.2.5

Nhân $y$ với $1$ .

$2 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$2 (x y' + y) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 (x y' + y) + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$2 (x y' + y) + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.3.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$2 (x y' + y) + 2 y y'$

Bước 2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 (x y') + 2 y + 2 y y'$

Bước 2.4.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$2 x y' + 2 y y' + 2 y$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$1 + y'$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$2 x y' + 2 y y' + 2 y = 1 + y'$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Trừ $y'$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 x y' + 2 y y' + 2 y - y' = 1$

Bước 5.2

Trừ $2 y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 x y' + 2 y y' - y' = 1 - 2 y$

Bước 5.3

Đưa $y'$ ra ngoài $2 x y' + 2 y y' - y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Đưa $y'$ ra ngoài $2 x y'$ .

$y' (2 x) + 2 y y' - y' = 1 - 2 y$

Bước 5.3.2

Đưa $y'$ ra ngoài $2 y y'$ .

$y' (2 x) + y' (2 y) - y' = 1 - 2 y$

Bước 5.3.3

Đưa $y'$ ra ngoài $- y'$ .

$y' (2 x) + y' (2 y) + y' \cdot - 1 = 1 - 2 y$

Bước 5.3.4

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (2 x) + y' (2 y)$ .

$y' (2 x + 2 y) + y' \cdot - 1 = 1 - 2 y$

Bước 5.3.5

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (2 x + 2 y) + y' \cdot - 1$ .

$y' (2 x + 2 y - 1) = 1 - 2 y$

Bước 5.4

Chia mỗi số hạng trong $y' (2 x + 2 y - 1) = 1 - 2 y$ cho $2 x + 2 y - 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (2 x + 2 y - 1) = 1 - 2 y$ cho $2 x + 2 y - 1$ .

$\frac{y' (2 x + 2 y - 1)}{2 x + 2 y - 1} = \frac{1}{2 x + 2 y - 1} + \frac{- 2 y}{2 x + 2 y - 1}$

Bước 5.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2 x + 2 y - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (2 x + 2 y - 1)}{2 x + 2 y - 1} = \frac{1}{2 x + 2 y - 1} + \frac{- 2 y}{2 x + 2 y - 1}$

Bước 5.4.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{1}{2 x + 2 y - 1} + \frac{- 2 y}{2 x + 2 y - 1}$

Bước 5.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y' = \frac{1 - 2 y}{2 x + 2 y - 1}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - 2 y}{2 x + 2 y - 1}$