Giải tích Ví dụ

$x (x^{2} - \frac{1}{x})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = x^{2} - \frac{1}{x}$ .

$x \frac{d}{d x} [x^{2} - \frac{1}{x}] + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - \frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

$x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$x (2 x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = - 1$ và $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$x (2 x - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$x (2 x - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$x (2 x - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.3

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$x (2 x + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.3.2

Nhân $x^{- 2}$ với $1$ .

$x (2 x + x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.4

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$x (2 x + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Nhân $\frac{1}{x}$ với $0$ .

$x (2 x + x^{- 2} + 0) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.5.2

Cộng $2 x + x^{- 2}$ và $0$ .

$x (2 x + x^{- 2}) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x (2 x + x^{- 2}) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \cdot 1$

Bước 4.7

Nhân $x^{2} - \frac{1}{x}$ với $1$ .

$x (2 x + x^{- 2}) + x^{2} - \frac{1}{x}$

Bước 5

Để viết $x (2 x + x^{- 2})$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x}{x}$ .

$x^{2} + \frac{x (2 x + x^{- 2}) x}{x} - \frac{1}{x}$

Bước 6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x^{2} + \frac{x (2 x + x^{- 2}) x - 1}{x}$

Bước 7

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$x^{2} + \frac{x^{1} x (2 x + x^{- 2}) - 1}{x}$

Bước 8

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$x^{2} + \frac{x^{1} x^{1} (2 x + x^{- 2}) - 1}{x}$

Bước 9

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x^{2} + \frac{x^{1 + 1} (2 x + x^{- 2}) - 1}{x}$

Bước 10

Cộng $1$ và $1$ .

$x^{2} + \frac{x^{2} (2 x + x^{- 2}) - 1}{x}$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} + \frac{x^{2} (2 x + \frac{1}{x^{2}}) - 1}{x}$

Bước 11.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{2} + \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \frac{1}{x^{2}} - 1}{x}$

Bước 11.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1.1

Di chuyển $x$ .

$x^{2} + \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 + x^{2} \frac{1}{x^{2}} - 1}{x}$

Bước 11.3.1.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$x^{2} + \frac{x^{1} x^{2} \cdot 2 + x^{2} \frac{1}{x^{2}} - 1}{x}$

Bước 11.3.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x^{2} + \frac{x^{1 + 2} \cdot 2 + x^{2} \frac{1}{x^{2}} - 1}{x}$

Bước 11.3.1.3

Cộng $1$ và $2$ .

$x^{2} + \frac{x^{3} \cdot 2 + x^{2} \frac{1}{x^{2}} - 1}{x}$

Bước 11.3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x^{3}$ .

$x^{2} + \frac{2 \cdot x^{3} + x^{2} \frac{1}{x^{2}} - 1}{x}$

Bước 11.3.3

Kết hợp $x^{2}$ và $\frac{1}{x^{2}}$ .

$x^{2} + \frac{2 x^{3} + \frac{x^{2}}{x^{2}} - 1}{x}$

Bước 11.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{2} + \frac{2 x^{3} + \frac{x^{2}}{x^{2}} - 1}{x}$

Bước 11.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$x^{2} + \frac{2 x^{3} + 1 - 1}{x}$

Bước 11.3.5

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$x^{2} + \frac{2 x^{3} + 0}{x}$

Bước 11.3.6

Cộng $2 x^{3}$ và $0$ .

$x^{2} + \frac{2 x^{3}}{x}$

Bước 11.3.7

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{3}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.7.1

Đưa $x$ ra ngoài $2 x^{3}$ .

$x^{2} + \frac{x (2 x^{2})}{x}$

Bước 11.3.7.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.7.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$x^{2} + \frac{x (2 x^{2})}{x^{1}}$

Bước 11.3.7.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$x^{2} + \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1}$

Bước 11.3.7.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{2} + \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1}$

Bước 11.3.7.2.4

Viết lại biểu thức.

$x^{2} + \frac{2 x^{2}}{1}$

Bước 11.3.7.2.5

Chia $2 x^{2}$ cho $1$ .

$x^{2} + 2 x^{2}$

Bước 11.3.8

Cộng $x^{2}$ và $2 x^{2}$ .

$3 x^{2}$