Giải tích Ví dụ

$f (x) = \sin (x) + \cos (x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\sin (x) + \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 1.3

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$\cos (x) - \sin (x)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\cos (x) - \sin (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \sin (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = - \sin (x) - \frac{d}{d x} \sin (x)$

Bước 2.3.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x) - \cos (x)$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

Bước 4

Chia mỗi số hạng trong phương trình cho $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 5

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 5.2

Viết lại biểu thức.

$1 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 6

Tách các phân số.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 7

Quy đổi từ $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ sang $\tan (x)$ .

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 8

Chia $- 1$ cho $1$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 9

Tách các phân số.

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Bước 10

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (x)}$ sang $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Bước 11

Chia $0$ cho $1$ .

$1 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

Bước 12

Nhân $0$ với $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = 0$

Bước 13

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- \tan (x) = - 1$

Bước 14

Chia mỗi số hạng trong $- \tan (x) = - 1$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Chia mỗi số hạng trong $- \tan (x) = - 1$ cho $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 14.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 14.2.2

Chia $\tan (x)$ cho $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 14.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.1

Chia $- 1$ cho $- 1$ .

$\tan (x) = 1$

Bước 15

Lấy nghịch đảo tang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm tang.

$x = \arctan (1)$

Bước 16

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Giá trị chính xác của $\arctan (1)$ là $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Bước 17

Hàm tang dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, hãy cộng góc tham chiếu từ $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = π + \frac{π}{4}$

Bước 18

Rút gọn $π + \frac{π}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Bước 18.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.2.1

Kết hợp $π$ và $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Bước 18.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Bước 18.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.3.1

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Bước 18.3.2

Cộng $4 π$ và $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Bước 19

Đáp án của phương trình $x = \frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}$

Bước 20

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = \frac{π}{4}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})$

Bước 21

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.1.1

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Bước 21.1.2

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 21.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.2.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Bước 21.2.2

Trừ $\sqrt{2}$ khỏi $- \sqrt{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Bước 21.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.2.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Bước 21.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.2.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Bước 21.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Bước 21.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- \sqrt{2}}{1}$

Bước 21.2.3.2.4

Chia $- \sqrt{2}$ cho $1$ .

$- \sqrt{2}$

Bước 22

$x = \frac{π}{4}$ là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = \frac{π}{4}$ là cực đại địa phương

Bước 23

Tìm giá trị y khi $x = \frac{π}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{π}{4}$ trong biểu thức.

$f (\frac{π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{4})$

Bước 23.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.2.1.1

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{4})$

Bước 23.2.1.2

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 23.2.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.2.2.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

Bước 23.2.2.2

Cộng $\sqrt{2}$ và $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Bước 23.2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.2.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Bước 23.2.2.3.2

Chia $\sqrt{2}$ cho $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \sqrt{2}$

Bước 23.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $\sqrt{2}$ .

$y = \sqrt{2}$

Bước 24

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = \frac{5 π}{4}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- \sin (\frac{5 π}{4}) - \cos (\frac{5 π}{4})$

Bước 25

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 25.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 25.1.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì sin âm trong góc phần tư thứ ba.

$- - \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{5 π}{4})$

Bước 25.1.2

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{5 π}{4})$

Bước 25.1.3

Nhân $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 25.1.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{5 π}{4})$

Bước 25.1.3.2

Nhân $\frac{\sqrt{2}}{2}$ với $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{5 π}{4})$

Bước 25.1.4

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosin âm trong góc phần tư thứ ba.

$\frac{\sqrt{2}}{2} - - \cos (\frac{π}{4})$

Bước 25.1.5

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 25.1.6

Nhân $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 25.1.6.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 25.1.6.2

Nhân $\frac{\sqrt{2}}{2}$ với $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 25.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 25.2.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

Bước 25.2.2

Cộng $\sqrt{2}$ và $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Bước 25.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 25.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Bước 25.2.3.2

Chia $\sqrt{2}$ cho $1$ .

$\sqrt{2}$

Bước 26

$x = \frac{5 π}{4}$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = \frac{5 π}{4}$ là cực tiểu địa phương

Bước 27

Tìm giá trị y khi $x = \frac{5 π}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 27.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{5 π}{4}$ trong biểu thức.

$f (\frac{5 π}{4}) = \sin (\frac{5 π}{4}) + \cos (\frac{5 π}{4})$

Bước 27.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 27.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 27.2.1.1

$f (\frac{5 π}{4}) = - \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{5 π}{4})$

Bước 27.2.1.2

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{5 π}{4})$

Bước 27.2.1.3

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Bước 27.2.1.4

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 27.2.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 27.2.2.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Bước 27.2.2.2

Trừ $\sqrt{2}$ khỏi $- \sqrt{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Bước 27.2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 27.2.2.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Bước 27.2.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 27.2.2.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Bước 27.2.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Bước 27.2.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{- \sqrt{2}}{1}$

Bước 27.2.2.3.2.4

Chia $- \sqrt{2}$ cho $1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \sqrt{2}$

Bước 27.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- \sqrt{2}$ .

$y = - \sqrt{2}$

Bước 28

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ .

$(\frac{π}{4}, \sqrt{2})$ là một cực đại địa phuơng

$(\frac{5 π}{4}, - \sqrt{2})$ là một cực tiểu địa phương

Bước 29