Giải tích Ví dụ

$y = 16^{4} \sqrt{4 x^{4} + 4}$

Bước 1

Nâng $16$ lên lũy thừa $4$ .

$\frac{d}{d x} [65536 \sqrt{4 x^{4} + 4}]$

Bước 2

Viết lại $\frac{d}{d x} [65536 \sqrt{4 x^{4} + 4}]$ ở dạng $\frac{d}{d x} [65536 (2 \sqrt{x^{4} + 1})]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại $4 x^{4} + 4$ ở dạng $2^{2} (x^{4} + 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [65536 \sqrt{4 (x^{4}) + 4}]$

Bước 2.1.2

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\frac{d}{d x} [65536 \sqrt{4 (x^{4}) + 4 (1)}]$

Bước 2.1.3

Đưa $4$ ra ngoài $4 (x^{4}) + 4 (1)$ .

$\frac{d}{d x} [65536 \sqrt{4 (x^{4} + 1)}]$

Bước 2.1.4

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [65536 \sqrt{2^{2} (x^{4} + 1)}]$

Bước 2.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\frac{d}{d x} [65536 (2 \sqrt{x^{4} + 1})]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân $2$ với $65536$ .

$\frac{d}{d x} [131072 \sqrt{x^{4} + 1}]$

Bước 3.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x^{4} + 1}$ ở dạng ${(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [131072 {(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.3

Vì $131072$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $131072 {(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $131072 \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$131072 \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = x^{4} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{4} + 1$ .

$131072 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$131072 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{4} + 1$ .

$131072 (\frac{1}{2} {(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Bước 5

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$131072 (\frac{1}{2} {(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Bước 6

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$131072 (\frac{1}{2} {(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Bước 7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$131072 (\frac{1}{2} {(x^{4} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Bước 8

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$131072 (\frac{1}{2} {(x^{4} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Bước 8.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$131072 (\frac{1}{2} {(x^{4} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Bước 9

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$131072 (\frac{1}{2} {(x^{4} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Bước 10

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(x^{4} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$131072 (\frac{{(x^{4} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Bước 11

Di chuyển ${(x^{4} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$131072 (\frac{1}{2 {(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Bước 12

Kết hợp $\frac{1}{2 {(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ và $131072$ .

$\frac{131072}{2 {(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]$

Bước 13

Đưa $2$ ra ngoài $131072$ .

$\frac{2 \cdot 65536}{2 {(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]$

Bước 14

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 {(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 65536}{2 ({(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]$

Bước 14.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 65536}{2 {(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]$

Bước 14.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{65536}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]$

Bước 15

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{4} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{65536}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 16

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$\frac{65536}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 17

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{65536}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} + 0)$

Bước 18

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Cộng $4 x^{3}$ và $0$ .

$\frac{65536}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3})$

Bước 18.2

Kết hợp $4$ và $\frac{65536}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 \cdot 65536}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x^{3}$

Bước 18.3

Nhân $4$ với $65536$ .

$\frac{262144}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x^{3}$

Bước 18.4

Kết hợp $\frac{262144}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ và $x^{3}$ .

$\frac{262144 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$