Giải tích Ví dụ

$\int \frac{x^{2}}{3 - x^{3}} d x$

Bước 1

Viết lại $x^{3}$ ở dạng ${(x^{3})}^{1}$ .

$\int \frac{x^{2}}{3 - {(x^{3})}^{1}} d x$

Bước 2

Giả sử $u_{1} = x^{3}$ . Sau đó $d u_{1} = 3 x^{2} d x$ , nên $\frac{1}{3} d u_{1} = x^{2} d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u_{1} = x^{3}$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{3 - {u_{1}}^{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn.

$\int \frac{1}{3 - u_{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Bước 3.2

Nhân $\frac{1}{3 - u_{1}}$ với $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{(3 - u_{1}) \cdot 3} d u_{1}$

Bước 3.3

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $3 - u_{1}$ .

$\int \frac{1}{3 (3 - u_{1})} d u_{1}$

Bước 4

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{3 - u_{1}} d u_{1}$

Bước 5

Giả sử $u_{2} = 3 - u_{1}$ . Sau đó $d u_{2} = - d u_{1}$ , nên $- d u_{2} = d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u_{2} = 3 - u_{1}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Viết lại.

$\frac{- 1}{1}$

Bước 5.1.2

Chia $- 1$ cho $1$ .

$- 1$

Bước 5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

Bước 6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{3} \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Bước 7

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} (- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Bước 8

Tích phân của $\frac{1}{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{3} (- (\ln (| u_{2} |) + C))$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn.

$\frac{1}{3} (- \ln (| u_{2} |)) + C$

Bước 9.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{\ln (| u_{2} |)}{3} + C$

Bước 10

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $3 - u_{1}$ .

$- \frac{\ln (| 3 - u_{1} |)}{3} + C$

Bước 10.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x^{3}$ .

$- \frac{\ln (| 3 - x^{3} |)}{3} + C$

Bước 11

Sắp xếp lại các số hạng.

$- \frac{1}{3} \ln (| 3 - x^{3} |) + C$