Giải tích Ví dụ

$\int 3 {(2 t + 5)}^{3} d t$

Bước 1

Vì $3$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$3 \int {(2 t + 5)}^{3} d t$

Bước 2

Giả sử $u = 2 t + 5$ . Sau đó $d u = 2 d t$ , nên $\frac{1}{2} d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = 2 t + 5$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $2 t + 5$ .

$\frac{d}{d t} [2 t + 5]$

Bước 2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 t + 5$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [5]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [5]$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d t} [2 t]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $2 t$ đối với $t$ là $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [5]$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [5]$

Bước 2.1.3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$2 + \frac{d}{d t} [5]$

Bước 2.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Vì $5$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $5$ đối với $t$ là $0$ .

$2 + 0$

Bước 2.1.4.2

Cộng $2$ và $0$ .

$2$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$3 \int u^{3} \frac{1}{2} d u$

Bước 3

Kết hợp $u^{3}$ và $\frac{1}{2}$ .

$3 \int \frac{u^{3}}{2} d u$

Bước 4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$3 (\frac{1}{2} \int u^{3} d u)$

Bước 5

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $3$ .

$\frac{3}{2} \int u^{3} d u$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{3}$ đối với $u$ là $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Viết lại $\frac{3}{2} (\frac{1}{4} u^{4} + C)$ ở dạng $\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$

Bước 7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Nhân $\frac{3}{2}$ với $\frac{1}{4}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 4} u^{4} + C$

Bước 7.2.2

Nhân $2$ với $4$ .

$\frac{3}{8} u^{4} + C$

Bước 8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 t + 5$ .

$\frac{3}{8} {(2 t + 5)}^{4} + C$