Giải tích Ví dụ

$\int x^{5} \cos (x^{3}) d x$

Bước 1

Giả sử $u = x^{3}$ . Sau đó $d u = 3 x^{2} d x$ , nên $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = x^{3}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int u \cos (u) \frac{1}{3} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $u$ .

$\int \frac{u}{3} \cos (u) d u$

Bước 2.2

Kết hợp $\frac{u}{3}$ và $\cos (u)$ .

$\int \frac{u \cos (u)}{3} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} \int u \cos (u) d u$

Bước 4

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int w d v = w v - \int v d w$ , trong đó $w = u$ và $dv = \cos (u)$ .

$\frac{1}{3} (u \sin (u) - \int \sin (u) d u)$

Bước 5

Tích phân của $\sin (u)$ đối với $u$ là $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{3} (u \sin (u) - (- \cos (u) + C))$

Bước 6

Viết lại $\frac{1}{3} (u \sin (u) - (- \cos (u) + C))$ ở dạng $\frac{1}{3} (u \sin (u) + \cos (u)) + C$ .

$\frac{1}{3} (u \sin (u) + \cos (u)) + C$

Bước 7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{3}$ .

$\frac{1}{3} (x^{3} \sin (x^{3}) + \cos (x^{3})) + C$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{3} (x^{3} \sin (x^{3})) + \frac{1}{3} \cos (x^{3}) + C$

Bước 8.2

Nhân $\frac{1}{3} (x^{3} \sin (x^{3}))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Kết hợp $x^{3}$ và $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x^{3}}{3} \sin (x^{3}) + \frac{1}{3} \cos (x^{3}) + C$

Bước 8.2.2

Kết hợp $\frac{x^{3}}{3}$ và $\sin (x^{3})$ .

$\frac{x^{3} \sin (x^{3})}{3} + \frac{1}{3} \cos (x^{3}) + C$

Bước 8.3

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $\cos (x^{3})$ .

$\frac{x^{3} \sin (x^{3})}{3} + \frac{\cos (x^{3})}{3} + C$

Bước 9

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{3} x^{3} \sin (x^{3}) + \frac{1}{3} \cos (x^{3}) + C$