Giải tích Ví dụ

\int_{0}^{1} \arctan (x) d x

$\int_{0}^{1} \arctan (x) d x$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức

\int u d v = u v - \int v d u

$\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó

u = \arctan (x)

$u = \arctan (x)$ và

d v = 1

$d v = 1$ .

\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x \frac{1}{x^{2} + 1} d x

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Bước 2

Kết hợp

x

$x$ và

\frac{1}{x^{2} + 1}

$\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2} + 1} d x

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Bước 3

Giả sử

u = x^{2} + 1

$u = x^{2} + 1$ . Sau đó

d u = 2 x d x

$d u = 2 x d x$ , nên

\frac{1}{2} d u = x d x

$\frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng

u

$u$ và

d

$d$

u

$u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt

u = x^{2} + 1

$u = x^{2} + 1$ . Tìm

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm

x^{2} + 1

$x^{2} + 1$ .

\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Bước 3.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của

x^{2} + 1

$x^{2} + 1$ đối với

x

$x$ là

\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 3.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ trong đó

n = 2

$n = 2$ .

2 x + \frac{d}{d x} [1]

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 3.1.4

Vì

1

$1$ là hằng số đối với

x

$x$ , đạo hàm của

1

$1$ đối với

x

$x$ là

0

$0$ .

2 x + 0

$2 x + 0$

Bước 3.1.5

Cộng

2 x

$2 x$ và

0

$0$ .

2 x

$2 x$

2 x

$2 x$

Bước 3.2

Thay giới hạn dưới vào cho

x

$x$ trong

u = x^{2} + 1

$u = x^{2} + 1$ .

u_{lower} = 0^{2} + 1

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

Bước 3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Nâng

0

$0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho

0

$0$ .

u_{lower} = 0 + 1

$u_{lower} = 0 + 1$

Bước 3.3.2

Cộng

0

$0$ và

1

$1$ .

u_{lower} = 1

$u_{lower} = 1$

u_{lower} = 1

$u_{lower} = 1$

Bước 3.4

Thay giới hạn trên vào cho

x

$x$ trong

u = x^{2} + 1

$u = x^{2} + 1$ .

u_{upper} = 1^{2} + 1

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

Bước 3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

u_{upper} = 1 + 1

$u_{upper} = 1 + 1$

Bước 3.5.2

Cộng

1

$1$ và

1

$1$ .

u_{upper} = 2

$u_{upper} = 2$

u_{upper} = 2

$u_{upper} = 2$

Bước 3.6

Các giá trị tìm được cho

u_{lower}

$u_{lower}$ và

u_{upper}

$u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

u_{lower} = 1

$u_{lower} = 1$

u_{upper} = 2

$u_{upper} = 2$

Bước 3.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng

u

$u$ ,

d u

$d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân

\frac{1}{u}

$\frac{1}{u}$ với

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{u \cdot 2} d u

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Bước 4.2

Di chuyển

2

$2$ sang phía bên trái của

u

$u$ .

\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{2 u} d u

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{2 u} d u$

\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{2 u} d u

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{2 u} d u$

Bước 5

Vì

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ không đổi đối với

u

$u$ , hãy di chuyển

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

\arctan (x) x]_{0}^{1} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u)

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u)$

Bước 6

Tích phân của

\frac{1}{u}

$\frac{1}{u}$ đối với

u

$u$ là

\ln (| u |)

$\ln (| u |)$ .

\arctan (x) x]_{0}^{1} - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{1}^{2}

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{1}^{2}$

Bước 7

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tính

\arctan (x) x

$\arctan (x) x$ tại

1

$1$ và tại

0

$0$ .

(\arctan (1) \cdot 1) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{1}^{2}

$(\arctan (1) \cdot 1) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{1}^{2}$

Bước 7.2

Tính

\ln (| u |)

$\ln (| u |)$ tại

2

$2$ và tại

1

$1$ .

(\arctan (1) \cdot 1) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))

$(\arctan (1) \cdot 1) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

Bước 7.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Nhân

\arctan (1)

$\arctan (1)$ với

1

$1$ .

\arctan (1) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))

$\arctan (1) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

Bước 7.3.2

Nhân

0

$0$ với

- 1

$- 1$ .

\arctan (1) + 0 \arctan (0) - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))

$\arctan (1) + 0 \arctan (0) - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

Bước 7.3.3

Nhân

0

$0$ với

\arctan (0)

$\arctan (0)$ .

\arctan (1) + 0 - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))

$\arctan (1) + 0 - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

Bước 7.3.4

Cộng

\arctan (1)

$\arctan (1)$ và

0

$0$ .

\arctan (1) - \frac{1}{2} (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))

$\arctan (1) - \frac{1}{2} (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

\arctan (1) - \frac{1}{2} (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))

$\arctan (1) - \frac{1}{2} (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

\arctan (1) - \frac{1}{2} (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))

$\arctan (1) - \frac{1}{2} (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Sử dụng tính chất thương của logarit,

\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

\arctan (1) - \frac{1}{2} \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})

$\arctan (1) - \frac{1}{2} \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

Bước 8.2

Kết hợp

\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})

$\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$ và

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\arctan (1) - \frac{\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{2}

$\arctan (1) - \frac{\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{2}$

\arctan (1) - \frac{\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{2}

$\arctan (1) - \frac{\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{2}$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa

0

$0$ và

2

$2$ là

2

$2$ .

\arctan (1) - \frac{\ln (\frac{2}{| 1 |})}{2}

$\arctan (1) - \frac{\ln (\frac{2}{| 1 |})}{2}$

Bước 9.2

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa

0

$0$ và

1

$1$ là

1

$1$ .

\arctan (1) - \frac{\ln (\frac{2}{1})}{2}

$\arctan (1) - \frac{\ln (\frac{2}{1})}{2}$

Bước 9.3

Chia

2

$2$ cho

1

$1$ .

\arctan (1) - \frac{\ln (2)}{2}

$\arctan (1) - \frac{\ln (2)}{2}$

\arctan (1) - \frac{\ln (2)}{2}

$\arctan (1) - \frac{\ln (2)}{2}$

Bước 10

Giá trị chính xác của

\arctan (1)

$\arctan (1)$ là

\frac{π}{4}

$\frac{π}{4}$ .

\frac{π}{4} - \frac{\ln (2)}{2}

$\frac{π}{4} - \frac{\ln (2)}{2}$

Bước 11

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

\frac{π}{4} - \frac{\ln (2)}{2}

$\frac{π}{4} - \frac{\ln (2)}{2}$

Dạng thập phân:

0.43882457 \dots

$0.43882457 \dots$