Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{5} \sqrt{y + 4} d y$

Bước 1

Giả sử $u = y + 4$ . Sau đó $d u = d y$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = y + 4$ . Tìm $\frac{d u}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $y + 4$ .

$\frac{d}{d y} [y + 4]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y + 4$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [4]$

Bước 1.1.4

Vì $4$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $4$ đối với $y$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 1.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $y$ trong $u = y + 4$ .

$u_{lower} = 0 + 4$

Bước 1.3

Cộng $0$ và $4$ .

$u_{lower} = 4$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $y$ trong $u = y + 4$ .

$u_{upper} = 5 + 4$

Bước 1.5

Cộng $5$ và $4$ .

$u_{upper} = 9$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 9$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{4}^{9} \sqrt{u} d u$

Bước 2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{4}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{4}^{9}$

Bước 4

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ tại $9$ và tại $4$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Bước 4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Bước 4.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Bước 4.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Bước 4.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Bước 4.2.4

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Bước 4.2.5

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $27$ .

$\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Bước 4.2.6

Nhân $2$ với $27$ .

$\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Bước 4.2.7

Triệt tiêu thừa số chung của $54$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.7.1

Đưa $3$ ra ngoài $54$ .

$\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Bước 4.2.7.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.7.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Bước 4.2.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Bước 4.2.7.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Bước 4.2.7.2.4

Chia $18$ cho $1$ .

$18 - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Bước 4.2.8

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$18 - \frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Bước 4.2.9

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$18 - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}$

Bước 4.2.10

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.10.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$18 - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}$

Bước 4.2.10.2

Viết lại biểu thức.

$18 - \frac{2}{3} \cdot 2^{3}$

Bước 4.2.11

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$18 - \frac{2}{3} \cdot 8$

Bước 4.2.12

Nhân $8$ với $- 1$ .

$18 - 8 (\frac{2}{3})$

Bước 4.2.13

Kết hợp $- 8$ và $\frac{2}{3}$ .

$18 + \frac{- 8 \cdot 2}{3}$

Bước 4.2.14

Nhân $- 8$ với $2$ .

$18 + \frac{- 16}{3}$

Bước 4.2.15

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$18 - \frac{16}{3}$

Bước 4.2.16

Để viết $18$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3}$

Bước 4.2.17

Kết hợp $18$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{16}{3}$

Bước 4.2.18

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{18 \cdot 3 - 16}{3}$

Bước 4.2.19

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.19.1

Nhân $18$ với $3$ .

$\frac{54 - 16}{3}$

Bước 4.2.19.2

Trừ $16$ khỏi $54$ .

$\frac{38}{3}$

Bước 5

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{38}{3}$

Dạng thập phân:

$12.\overline{6}$

Dạng hỗn số:

$12 \frac{2}{3}$

Bước 6