Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = x^{2} + 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 1.1.2.2

Nhân $x^{2} + 1$ với $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 1.1.2.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 1.1.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 1.1.2.5

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 1.1.2.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.6.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 1.1.2.6.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 1.1.3

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 1.1.4

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 1.1.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 1.1.6

Cộng $1$ và $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 1.1.7

Trừ $2 x^{2}$ khỏi $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Bước 2.2

Cho tử bằng không.

$- x^{2} + 1 = 0$

Bước 2.3

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- x^{2} = - 1$

Bước 2.3.2

Chia mỗi số hạng trong $- x^{2} = - 1$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- x^{2} = - 1$ cho $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 2.3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 2.3.2.2.2

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 2.3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.3.1

Chia $- 1$ cho $- 1$ .

$x^{2} = 1$

Bước 2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Bước 2.3.4

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$x = \pm 1$

Bước 2.3.5

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = 1$

Bước 2.3.5.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - 1$

Bước 2.3.5.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = 1, - 1$

Bước 3

Các giá trị làm cho đạo hàm bằng $0$ là $1, - 1$ .

$1, - 1$

Bước 4

Tách $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị $x$ và làm cho đạo hàm $0$ hoặc không xác định.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Bước 5

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, - 1)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 2$ trong biểu thức.

$f' (- 2) = \frac{- {(- 2)}^{2} + 1}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 1 \cdot 4 + 1}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 5.2.1.2

Nhân $- 1$ với $4$ .

$f' (- 2) = \frac{- 4 + 1}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 5.2.1.3

Cộng $- 4$ và $1$ .

$f' (- 2) = \frac{- 3}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 5.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 3}{{(4 + 1)}^{2}}$

Bước 5.2.2.2

Cộng $4$ và $1$ .

$f' (- 2) = \frac{- 3}{5^{2}}$

Bước 5.2.2.3

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 3}{25}$

Bước 5.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (- 2) = - \frac{3}{25}$

Bước 5.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{3}{25}$ .

$- \frac{3}{25}$

Bước 5.3

Tại $x = - 2$ đạo hàm là $- \frac{3}{25}$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(- \infty, - 1)$ .

Giảm trên $(- \infty, - 1)$ vì $f' (x) < 0$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(- 1, 1)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f' (0) = \frac{- {(0)}^{2} + 1}{{({(0)}^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f' (0) = \frac{- 0 + 1}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 6.2.1.2

Nhân $- 1$ với $0$ .

$f' (0) = \frac{0 + 1}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 6.2.1.3

Cộng $0$ và $1$ .

$f' (0) = \frac{1}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 6.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f' (0) = \frac{1}{{(0 + 1)}^{2}}$

Bước 6.2.2.2

Cộng $0$ và $1$ .

$f' (0) = \frac{1}{1^{2}}$

Bước 6.2.2.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f' (0) = \frac{1}{1}$

Bước 6.2.3

Chia $1$ cho $1$ .

$f' (0) = 1$

Bước 6.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $1$ .

$1$

Bước 6.3

Tại $x = 0$ đạo hàm là $1$ . Vì đây là số dương, hàm số tăng trên $(- 1, 1)$ .

Tăng trên $(- 1, 1)$ vì $f' (x) > 0$

Bước 7

Thay một giá trị từ khoảng $(1, \infty)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $2$ trong biểu thức.

$f' (2) = \frac{- {(2)}^{2} + 1}{{({(2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (2) = \frac{- 1 \cdot 4 + 1}{{(2^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 7.2.1.2

Nhân $- 1$ với $4$ .

$f' (2) = \frac{- 4 + 1}{{(2^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 7.2.1.3

Cộng $- 4$ và $1$ .

$f' (2) = \frac{- 3}{{(2^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 7.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (2) = \frac{- 3}{{(4 + 1)}^{2}}$

Bước 7.2.2.2

Cộng $4$ và $1$ .

$f' (2) = \frac{- 3}{5^{2}}$

Bước 7.2.2.3

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (2) = \frac{- 3}{25}$

Bước 7.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (2) = - \frac{3}{25}$

Bước 7.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{3}{25}$ .

$- \frac{3}{25}$

Bước 7.3

Tại $x = 2$ đạo hàm là $- \frac{3}{25}$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(1, \infty)$ .

Giảm trên $(1, \infty)$ vì $f' (x) < 0$

Bước 8

Liệt kê các khoảng trong đó hàm tăng và giảm.

Tăng trên: $(- 1, 1)$

Giảm trên: $(- \infty, - 1), (1, \infty)$

Bước 9