Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{2 x^{2} + 3}{4 x^{2} + 5}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = 2 x^{2} + 3$ và $g (x) = 4 x^{2} + 5$ .

$\frac{(4 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 3] - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x^{2} + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{(4 x^{2} + 5) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Bước 1.2.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{2}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(4 x^{2} + 5) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Bước 1.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{(4 x^{2} + 5) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Bước 1.2.4

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{(4 x^{2} + 5) (4 x + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Bước 1.2.5

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(4 x^{2} + 5) (4 x + 0) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Bước 1.2.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.1

Cộng $4 x$ và $0$ .

$\frac{(4 x^{2} + 5) (4 x) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Bước 1.2.6.2

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $4 x^{2} + 5$ .

$\frac{4 \cdot (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Bước 1.2.7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x^{2} + 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Bước 1.2.8

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{2}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Bước 1.2.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Bước 1.2.10

Nhân $2$ với $4$ .

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (8 x + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Bước 1.2.11

Vì $5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $5$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (8 x + 0)}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Bước 1.2.12

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.12.1

Cộng $8 x$ và $0$ .

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (8 x)}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Bước 1.2.12.2

Nhân $8$ với $- 1$ .

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - 8 (2 x^{2} + 3) x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(4 (4 x^{2}) + 4 \cdot 5) x - 8 (2 x^{2} + 3) x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Bước 1.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4 (4 x^{2}) x + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2} + 3) x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Bước 1.3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4 (4 x^{2}) x + 4 \cdot 5 x + (- 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 3) x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Bước 1.3.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4 (4 x^{2}) x + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Bước 1.3.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.5.1.1

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.5.1.1.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{4 (4 (x \cdot x^{2})) + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Bước 1.3.5.1.1.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.5.1.1.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{4 (4 (x^{1} x^{2})) + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Bước 1.3.5.1.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{4 (4 x^{1 + 2}) + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Bước 1.3.5.1.1.3

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{4 (4 x^{3}) + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Bước 1.3.5.1.2

Nhân $4$ với $4$ .

$\frac{16 x^{3} + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Bước 1.3.5.1.3

Nhân $4$ với $5$ .

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Bước 1.3.5.1.4

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.5.1.4.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 (x \cdot x^{2})) - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Bước 1.3.5.1.4.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.5.1.4.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 (x^{1} x^{2})) - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Bước 1.3.5.1.4.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 x^{1 + 2}) - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Bước 1.3.5.1.4.3

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 x^{3}) - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Bước 1.3.5.1.5

Nhân $2$ với $- 8$ .

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 16 x^{3} - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Bước 1.3.5.1.6

Nhân $- 8$ với $3$ .

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 16 x^{3} - 24 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Bước 1.3.5.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $16 x^{3} + 20 x - 16 x^{3} - 24 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.5.2.1

Trừ $16 x^{3}$ khỏi $16 x^{3}$ .

$\frac{20 x + 0 - 24 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Bước 1.3.5.2.2

Cộng $20 x$ và $0$ .

$\frac{20 x - 24 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Bước 1.3.5.3

Trừ $24 x$ khỏi $20 x$ .

$\frac{- 4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Bước 1.3.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$ đối với $x$ là $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Bước 2.2

$f'' (x) = - 4 \frac{{(4 x^{2} + 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(4 x^{2} + 5)}^{2}}{{({(4 x^{2} + 5)}^{2})}^{2}}$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Nhân các số mũ trong ${({(4 x^{2} + 5)}^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(4 x^{2} + 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(4 x^{2} + 5)}^{2}}{{(4 x^{2} + 5)}^{2 \cdot 2}}$

Bước 2.3.1.2

Nhân $2$ với $2$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(4 x^{2} + 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(4 x^{2} + 5)}^{2}}{{(4 x^{2} + 5)}^{4}}$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(4 x^{2} + 5)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(4 x^{2} + 5)}^{2}}{{(4 x^{2} + 5)}^{4}}$

Bước 2.3.3

Nhân ${(4 x^{2} + 5)}^{2}$ với $1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(4 x^{2} + 5)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(4 x^{2} + 5)}^{2}}{{(4 x^{2} + 5)}^{4}}$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = 4 x^{2} + 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $4 x^{2} + 5$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(4 x^{2} + 5)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (4 x^{2} + 5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{4}}$

Bước 2.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(4 x^{2} + 5)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (4 x^{2} + 5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{4}}$

Bước 2.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $4 x^{2} + 5$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(4 x^{2} + 5)}^{2} - x (2 (4 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} (4 x^{2} + 5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{4}}$

Bước 2.5

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(4 x^{2} + 5)}^{2} - 2 x ((4 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} (4 x^{2} + 5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{4}}$

Bước 2.5.2

Đưa $4 x^{2} + 5$ ra ngoài ${(4 x^{2} + 5)}^{2} - 2 x ((4 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5])$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Đưa $4 x^{2} + 5$ ra ngoài ${(4 x^{2} + 5)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{(4 x^{2} + 5) (4 x^{2} + 5) - 2 x ((4 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} (4 x^{2} + 5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{4}}$

Bước 2.5.2.2

Đưa $4 x^{2} + 5$ ra ngoài $- 2 x ((4 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5])$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{(4 x^{2} + 5) (4 x^{2} + 5) + (4 x^{2} + 5) (- 2 x (\frac{d}{d x} (4 x^{2} + 5)))}{{(4 x^{2} + 5)}^{4}}$

Bước 2.5.2.3

Đưa $4 x^{2} + 5$ ra ngoài $(4 x^{2} + 5) (4 x^{2} + 5) + (4 x^{2} + 5) (- 2 x (\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]))$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{(4 x^{2} + 5) (4 x^{2} + 5 - 2 x (\frac{d}{d x} (4 x^{2} + 5)))}{{(4 x^{2} + 5)}^{4}}$

Bước 2.6

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Đưa $4 x^{2} + 5$ ra ngoài ${(4 x^{2} + 5)}^{4}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{(4 x^{2} + 5) (4 x^{2} + 5 - 2 x (\frac{d}{d x} (4 x^{2} + 5)))}{(4 x^{2} + 5) {(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Bước 2.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f'' (x) = - 4 \frac{(4 x^{2} + 5) (4 x^{2} + 5 - 2 x (\frac{d}{d x} (4 x^{2} + 5)))}{(4 x^{2} + 5) {(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Bước 2.6.3

Viết lại biểu thức.

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 2 x (\frac{d}{d x} (4 x^{2} + 5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Bước 2.7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x^{2} + 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 2 x (\frac{d}{d x} (4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Bước 2.8

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{2}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 2 x (4 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Bước 2.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 2 x (4 (2 x) + \frac{d}{d x} (5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Bước 2.10

Nhân $2$ với $4$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 2 x (8 x + \frac{d}{d x} (5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Bước 2.11

Vì $5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $5$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 2 x (8 x + 0)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Bước 2.12

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.12.1

Cộng $8 x$ và $0$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 2 x (8 x)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Bước 2.12.2

Nhân $8$ với $- 2$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 16 x \cdot x}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Bước 2.13

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 16 (x \cdot x)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Bước 2.14

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 16 (x \cdot x)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Bước 2.15

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 16 x^{1 + 1}}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Bước 2.16

Cộng $1$ và $1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 16 x^{2}}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Bước 2.17

Trừ $16 x^{2}$ khỏi $4 x^{2}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{- 12 x^{2} + 5}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Bước 2.18

Kết hợp $- 4$ và $\frac{- 12 x^{2} + 5}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (- 12 x^{2} + 5)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Bước 2.19

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (x) = - \frac{4 (- 12 x^{2} + 5)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Bước 2.20

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.20.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = - \frac{4 (- 12 x^{2}) + 4 \cdot 5}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Bước 2.20.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.20.2.1

Nhân $- 12$ với $4$ .

$f'' (x) = - \frac{- 48 x^{2} + 4 \cdot 5}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Bước 2.20.2.2

Nhân $4$ với $5$ .

$f'' (x) = - \frac{- 48 x^{2} + 20}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Bước 2.20.3

Đưa $4$ ra ngoài $- 48 x^{2} + 20$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.20.3.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 48 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- 12 x^{2}) + 20}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Bước 2.20.3.2

Đưa $4$ ra ngoài $20$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- 12 x^{2}) + 4 (5)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Bước 2.20.3.3

Đưa $4$ ra ngoài $4 (- 12 x^{2}) + 4 (5)$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- 12 x^{2} + 5)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Bước 2.20.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 12 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- (12 x^{2}) + 5)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Bước 2.20.5

Viết lại $5$ ở dạng $- 1 (- 5)$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- (12 x^{2}) - 1 \cdot - 5)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Bước 2.20.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (12 x^{2}) - 1 (- 5)$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- (12 x^{2} - 5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Bước 2.20.7

Viết lại $- (12 x^{2} - 5)$ ở dạng $- 1 (12 x^{2} - 5)$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- 1 (12 x^{2} - 5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Bước 2.20.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (x) = \frac{4 (12 x^{2} - 5)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Bước 2.20.9

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{4 (12 x^{2} - 5)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}})$

Bước 2.20.10

Nhân $\frac{4 (12 x^{2} - 5)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$ với $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 (12 x^{2} - 5)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$- \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}} = 0$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

$\frac{(4 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 3] - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Bước 4.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x^{2} + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{(4 x^{2} + 5) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Bước 4.1.2.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{2}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(4 x^{2} + 5) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Bước 4.1.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{(4 x^{2} + 5) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Bước 4.1.2.4

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{(4 x^{2} + 5) (4 x + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Bước 4.1.2.5

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(4 x^{2} + 5) (4 x + 0) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Bước 4.1.2.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.6.1

Cộng $4 x$ và $0$ .

$\frac{(4 x^{2} + 5) (4 x) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Bước 4.1.2.6.2

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $4 x^{2} + 5$ .

$\frac{4 \cdot (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Bước 4.1.2.7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x^{2} + 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Bước 4.1.2.8

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{2}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Bước 4.1.2.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Bước 4.1.2.10

Nhân $2$ với $4$ .

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (8 x + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Bước 4.1.2.11

Vì $5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $5$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (8 x + 0)}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Bước 4.1.2.12

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.12.1

Cộng $8 x$ và $0$ .

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (8 x)}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Bước 4.1.2.12.2

Nhân $8$ với $- 1$ .

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - 8 (2 x^{2} + 3) x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Bước 4.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(4 (4 x^{2}) + 4 \cdot 5) x - 8 (2 x^{2} + 3) x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Bước 4.1.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4 (4 x^{2}) x + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2} + 3) x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Bước 4.1.3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4 (4 x^{2}) x + 4 \cdot 5 x + (- 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 3) x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Bước 4.1.3.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4 (4 x^{2}) x + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Bước 4.1.3.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.5.1.1

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.5.1.1.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{4 (4 (x \cdot x^{2})) + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Bước 4.1.3.5.1.1.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.5.1.1.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{4 (4 (x^{1} x^{2})) + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Bước 4.1.3.5.1.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{4 (4 x^{1 + 2}) + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Bước 4.1.3.5.1.1.3

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{4 (4 x^{3}) + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Bước 4.1.3.5.1.2

Nhân $4$ với $4$ .

$\frac{16 x^{3} + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Bước 4.1.3.5.1.3

Nhân $4$ với $5$ .

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Bước 4.1.3.5.1.4

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.5.1.4.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 (x \cdot x^{2})) - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Bước 4.1.3.5.1.4.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.5.1.4.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 (x^{1} x^{2})) - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Bước 4.1.3.5.1.4.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 x^{1 + 2}) - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Bước 4.1.3.5.1.4.3

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 x^{3}) - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Bước 4.1.3.5.1.5

Nhân $2$ với $- 8$ .

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 16 x^{3} - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Bước 4.1.3.5.1.6

Nhân $- 8$ với $3$ .

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 16 x^{3} - 24 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Bước 4.1.3.5.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $16 x^{3} + 20 x - 16 x^{3} - 24 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.5.2.1

Trừ $16 x^{3}$ khỏi $16 x^{3}$ .

$\frac{20 x + 0 - 24 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Bước 4.1.3.5.2.2

Cộng $20 x$ và $0$ .

$\frac{20 x - 24 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Bước 4.1.3.5.3

Trừ $24 x$ khỏi $20 x$ .

$\frac{- 4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Bước 4.1.3.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (x) = - \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Bước 4.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $- \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$ .

$- \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Bước 5

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $- \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$- \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}} = 0$

Bước 5.2

Cho tử bằng không.

$4 x = 0$

Bước 5.3

Chia mỗi số hạng trong $4 x = 0$ cho $4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Chia mỗi số hạng trong $4 x = 0$ cho $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Bước 5.3.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Bước 5.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Chia $0$ cho $4$ .

$x = 0$

Bước 6

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Bước 7

Các điểm cực trị cần tính.

$x = 0$

Bước 8

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 0$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$\frac{4 (12 {(0)}^{2} - 5)}{{(4 {(0)}^{2} + 5)}^{3}}$

Bước 9

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{4 (12 \cdot 0 - 5)}{{(4 \cdot 0^{2} + 5)}^{3}}$

Bước 9.1.2

Nhân $12$ với $0$ .

$\frac{4 (0 - 5)}{{(4 \cdot 0^{2} + 5)}^{3}}$

Bước 9.1.3

Trừ $5$ khỏi $0$ .

$\frac{4 \cdot - 5}{{(4 \cdot 0^{2} + 5)}^{3}}$

Bước 9.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{4 \cdot - 5}{{(4 \cdot 0 + 5)}^{3}}$

Bước 9.2.2

Nhân $4$ với $0$ .

$\frac{4 \cdot - 5}{{(0 + 5)}^{3}}$

Bước 9.2.3

Cộng $0$ và $5$ .

$\frac{4 \cdot - 5}{5^{3}}$

Bước 9.2.4

Nâng $5$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{4 \cdot - 5}{125}$

Bước 9.3

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Nhân $4$ với $- 5$ .

$\frac{- 20}{125}$

Bước 9.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 20$ và $125$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $- 20$ .

$\frac{5 (- 4)}{125}$

Bước 9.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.2.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $125$ .

$\frac{5 \cdot - 4}{5 \cdot 25}$

Bước 9.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5 \cdot - 4}{5 \cdot 25}$

Bước 9.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 4}{25}$

Bước 9.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{4}{25}$

Bước 10

$x = 0$ là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = 0$ là cực đại địa phương

Bước 11

Tìm giá trị y khi $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f (0) = \frac{2 {(0)}^{2} + 3}{4 {(0)}^{2} + 5}$

Bước 11.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f (0) = \frac{2 \cdot 0 + 3}{4 \cdot 0^{2} + 5}$

Bước 11.2.1.2

Nhân $2$ với $0$ .

$f (0) = \frac{0 + 3}{4 \cdot 0^{2} + 5}$

Bước 11.2.1.3

Cộng $0$ và $3$ .

$f (0) = \frac{3}{4 \cdot 0^{2} + 5}$

Bước 11.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.2.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f (0) = \frac{3}{4 \cdot 0 + 5}$

Bước 11.2.2.2

Nhân $4$ với $0$ .

$f (0) = \frac{3}{0 + 5}$

Bước 11.2.2.3

Cộng $0$ và $5$ .

$f (0) = \frac{3}{5}$

Bước 11.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{3}{5}$ .

$y = \frac{3}{5}$

Bước 12

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = \frac{2 x^{2} + 3}{4 x^{2} + 5}$ .

$(0, \frac{3}{5})$ là một cực đại địa phuơng

Bước 13