Giải tích Ví dụ

$y = 81 x$ , $y = x^{5}$ , $x = 0$ , $x = 3$

Bước 1

Giải bằng phương pháp thay thế để tìm phần giao giữa hai đường cong.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Loại bỏ các vế bằng nhau của mỗi phương trình sau đó kết hợp.

$81 x = x^{5}$

Bước 1.2

Giải $81 x = x^{5}$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Trừ $x^{5}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$81 x - x^{5} = 0$

Bước 1.2.2

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $81 x - x^{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $81 x$ .

$x \cdot 81 - x^{5} = 0$

Bước 1.2.2.1.2

Đưa $x$ ra ngoài $- x^{5}$ .

$x \cdot 81 + x (- x^{4}) = 0$

Bước 1.2.2.1.3

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot 81 + x (- x^{4})$ .

$x (81 - x^{4}) = 0$

Bước 1.2.2.2

Viết lại $81$ ở dạng $9^{2}$ .

$x (9^{2} - x^{4}) = 0$

Bước 1.2.2.3

Viết lại $x^{4}$ ở dạng ${(x^{2})}^{2}$ .

$x (9^{2} - {(x^{2})}^{2}) = 0$

Bước 1.2.2.4

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 9$ và $b = x^{2}$ .

$x ((9 + x^{2}) (9 - x^{2})) = 0$

Bước 1.2.2.5

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.5.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.5.1.1

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$x ((9 + x^{2}) (3^{2} - x^{2})) = 0$

Bước 1.2.2.5.1.2

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.5.1.2.1

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 3$ và $b = x$ .

$x ((9 + x^{2}) ((3 + x) (3 - x))) = 0$

Bước 1.2.2.5.1.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$x ((9 + x^{2}) (3 + x) (3 - x)) = 0$

Bước 1.2.2.5.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$x (9 + x^{2}) (3 + x) (3 - x) = 0$

Bước 1.2.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x = 0$

$9 + x^{2} = 0$

$3 + x = 0$

$3 - x = 0 + y = x^{5}$

Bước 1.2.4

Đặt $x$ bằng với $0$ .

$x = 0$

Bước 1.2.5

Đặt $9 + x^{2}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1

Đặt $9 + x^{2}$ bằng với $0$ .

$9 + x^{2} = 0$

Bước 1.2.5.2

Giải $9 + x^{2} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.2.1

Trừ $9$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x^{2} = - 9$

Bước 1.2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Bước 1.2.5.2.3

Rút gọn $\pm \sqrt{- 9}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.2.3.1

Viết lại $- 9$ ở dạng $- 1 (9)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Bước 1.2.5.2.3.2

Viết lại $\sqrt{- 1 (9)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Bước 1.2.5.2.3.3

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Bước 1.2.5.2.3.4

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Bước 1.2.5.2.3.5

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm i \cdot 3$

Bước 1.2.5.2.3.6

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \pm 3 i$

Bước 1.2.5.2.4

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.2.4.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = 3 i$

Bước 1.2.5.2.4.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - 3 i$

Bước 1.2.5.2.4.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = 3 i, - 3 i$

Bước 1.2.6

Đặt $3 + x$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.1

Đặt $3 + x$ bằng với $0$ .

$3 + x = 0$

Bước 1.2.6.2

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 3$

Bước 1.2.7

Đặt $3 - x$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.1

Đặt $3 - x$ bằng với $0$ .

$3 - x = 0$

Bước 1.2.7.2

Giải $3 - x = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.2.1

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- x = - 3$

Bước 1.2.7.2.2

Chia mỗi số hạng trong $- x = - 3$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- x = - 3$ cho $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Bước 1.2.7.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.2.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Bước 1.2.7.2.2.2.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Bước 1.2.7.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.2.2.3.1

Chia $- 3$ cho $- 1$ .

$x = 3$

Bước 1.2.8

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $x (9 + x^{2}) (3 + x) (3 - x) = 0$ đúng.

$x = 0, 3 i, - 3 i, - 3, 3$

Bước 1.3

Tính $y$ khi $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Thay $0$ bằng $x$ .

$y = {(0)}^{5}$

Bước 1.3.2

Thế $0$ vào $x$ trong $y = {(0)}^{5}$ và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = 0^{5}$

Bước 1.3.2.2

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$y = 0$

Bước 1.4

Tính $y$ khi $x = 3 i$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Thay $3 i$ bằng $x$ .

$y = {(3 i)}^{5}$

Bước 1.4.2

Rút gọn ${(3 i)}^{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 i$ .

$y = 3^{5} i^{5}$

Bước 1.4.2.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $5$ .

$y = 243 i^{5}$

Bước 1.4.2.3

Đưa $i^{4}$ ra ngoài.

$y = 243 (i^{4} i)$

Bước 1.4.2.4

Viết lại $i^{4}$ ở dạng $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.4.1

Viết lại $i^{4}$ ở dạng ${(i^{2})}^{2}$ .

$y = 243 ({(i^{2})}^{2} i)$

Bước 1.4.2.4.2

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$y = 243 ({(- 1)}^{2} i)$

Bước 1.4.2.4.3

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$y = 243 (1 i)$

Bước 1.4.2.5

Nhân $i$ với $1$ .

$y = 243 i$

Bước 1.5

Tính $y$ khi $x = - 3 i$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Thay $- 3 i$ bằng $x$ .

$y = {(- 3 i)}^{5}$

Bước 1.5.2

Rút gọn ${(- 3 i)}^{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- 3 i$ .

$y = {(- 3)}^{5} i^{5}$

Bước 1.5.2.2

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $5$ .

$y = - 243 i^{5}$

Bước 1.5.2.3

Đưa $i^{4}$ ra ngoài.

$y = - 243 (i^{4} i)$

Bước 1.5.2.4

Viết lại $i^{4}$ ở dạng $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.4.1

Viết lại $i^{4}$ ở dạng ${(i^{2})}^{2}$ .

$y = - 243 ({(i^{2})}^{2} i)$

Bước 1.5.2.4.2

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$y = - 243 ({(- 1)}^{2} i)$

Bước 1.5.2.4.3

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$y = - 243 (1 i)$

Bước 1.5.2.5

Nhân $i$ với $1$ .

$y = - 243 i$

Bước 1.6

Tính $y$ khi $x = - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Thay $- 3$ bằng $x$ .

$y = {(- 3)}^{5}$

Bước 1.6.2

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $5$ .

$y = - 243$

Bước 1.7

Tính $y$ khi $x = 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1

Thay $3$ bằng $x$ .

$y = {(3)}^{5}$

Bước 1.7.2

Thế $3$ vào $x$ trong $y = {(3)}^{5}$ và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = 3^{5}$

Bước 1.7.2.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $5$ .

$y = 243$

Bước 1.8

Liệt kê tất cả các đáp án.

$y = 0, x = 0$

$y = 243 i, x = 3 i$

$y = - 243 i, x = - 3 i$

$y = - 243, x = - 3$

$y = 243, x = 3$

$y = 0, x = 0$

$y = 243 i, x = 3 i$

$y = - 243 i, x = - 3 i$

$y = - 243, x = - 3$

$y = 243, x = 3$

Bước 2

Diện tích của vùng giữa các đường cong được xác định bằng tích phân của đường cong trên trừ đi tích phân của đường cong dưới trên mỗi vùng. Các vùng được xác định bởi các giao điểm của các đường cong. Điều này có thể được thực hiện theo phương pháp đại số hoặc phương pháp vẽ đồ thị.

$A r e a = \int_{0}^{3} 81 x d x - \int_{0}^{3} x^{5} d x$

Bước 3

Lấy tích phân để tìm diện tích giữa $0$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp các tích phân thành một tích phân.

$\int_{0}^{3} 81 x - (x^{5}) d x$

Bước 3.2

Nhân $- 1$ với $x^{5}$ .

$\int_{0}^{3} 81 x - x^{5} d x$

Bước 3.3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{0}^{3} 81 x d x + \int_{0}^{3} - x^{5} d x$

Bước 3.4

Vì $81$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $81$ ra khỏi tích phân.

$81 \int_{0}^{3} x d x + \int_{0}^{3} - x^{5} d x$

Bước 3.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$81 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - x^{5} d x$

Bước 3.6

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$81 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - x^{5} d x$

Bước 3.7

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$81 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) - \int_{0}^{3} x^{5} d x$

Bước 3.8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{5}$ đối với $x$ là $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$81 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) - (\frac{1}{6} x^{6}]_{0}^{3})$

Bước 3.9

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.1

Kết hợp $\frac{1}{6}$ và $x^{6}$ .

$81 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) - (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{3})$

Bước 3.9.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.2.1

Tính $\frac{x^{2}}{2}$ tại $3$ và tại $0$ .

$81 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{3})$

Bước 3.9.2.2

Tính $\frac{x^{6}}{6}$ tại $3$ và tại $0$ .

$81 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Bước 3.9.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.2.3.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$81 (\frac{9}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Bước 3.9.2.3.2

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$81 (\frac{9}{2} - \frac{0}{2}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Bước 3.9.2.3.3

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.2.3.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$81 (\frac{9}{2} - \frac{2 (0)}{2}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Bước 3.9.2.3.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.2.3.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$81 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Bước 3.9.2.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$81 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Bước 3.9.2.3.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$81 (\frac{9}{2} - \frac{0}{1}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Bước 3.9.2.3.3.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$81 (\frac{9}{2} - 0) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Bước 3.9.2.3.4

Nhân $- 1$ với $0$ .

$81 (\frac{9}{2} + 0) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Bước 3.9.2.3.5

Cộng $\frac{9}{2}$ và $0$ .

$81 (\frac{9}{2}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Bước 3.9.2.3.6

Kết hợp $81$ và $\frac{9}{2}$ .

$\frac{81 \cdot 9}{2} - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Bước 3.9.2.3.7

Nhân $81$ với $9$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Bước 3.9.2.3.8

Nâng $3$ lên lũy thừa $6$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{729}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Bước 3.9.2.3.9

Triệt tiêu thừa số chung của $729$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.2.3.9.1

Đưa $3$ ra ngoài $729$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{3 (243)}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Bước 3.9.2.3.9.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.2.3.9.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 2} - \frac{0^{6}}{6})$

Bước 3.9.2.3.9.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{729}{2} - (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 2} - \frac{0^{6}}{6})$

Bước 3.9.2.3.9.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - \frac{0^{6}}{6})$

Bước 3.9.2.3.10

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - \frac{0}{6})$

Bước 3.9.2.3.11

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.2.3.11.1

Đưa $6$ ra ngoài $0$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - \frac{6 (0)}{6})$

Bước 3.9.2.3.11.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.2.3.11.2.1

Đưa $6$ ra ngoài $6$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1})$

Bước 3.9.2.3.11.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1})$

Bước 3.9.2.3.11.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - \frac{0}{1})$

Bước 3.9.2.3.11.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - 0)$

Bước 3.9.2.3.12

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} + 0)$

Bước 3.9.2.3.13

Cộng $\frac{243}{2}$ và $0$ .

$\frac{729}{2} - \frac{243}{2}$

Bước 3.9.2.3.14

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{729 - 243}{2}$

Bước 3.9.2.3.15

Trừ $243$ khỏi $729$ .

$\frac{486}{2}$

Bước 3.9.2.3.16

Triệt tiêu thừa số chung của $486$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.2.3.16.1

Đưa $2$ ra ngoài $486$ .

$\frac{2 \cdot 243}{2}$

Bước 3.9.2.3.16.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.2.3.16.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 \cdot 243}{2 (1)}$

Bước 3.9.2.3.16.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 243}{2 \cdot 1}$

Bước 3.9.2.3.16.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{243}{1}$

Bước 3.9.2.3.16.2.4

Chia $243$ cho $1$ .

$243$

Bước 4