Giải tích Ví dụ

$\frac{e^{- x} + 1}{e^{x}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = e^{- x} + 1$ và $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [e^{- x} + 1] - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Bước 2

Tính đạo hàm bằng quy tắc tổng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân các số mũ trong ${(e^{x})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [e^{- x} + 1] - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Bước 2.1.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [e^{- x} + 1] - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{- x} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{e^{x} (\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $- x$ .

$\frac{e^{x} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- x$ .

$\frac{e^{x} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{x} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{e^{x} (e^{- x} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Bước 4.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{e^{x} (e^{- x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Bước 4.3.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $e^{- x}$ .

$\frac{e^{x} (- 1 \cdot e^{- x} + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Bước 4.3.3

Viết lại $- 1 e^{- x}$ ở dạng $- e^{- x}$ .

$\frac{e^{x} (- e^{- x} + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Bước 4.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{e^{x} (- e^{- x} + 0) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Bước 4.5

Cộng $- e^{- x}$ và $0$ .

$\frac{e^{x} (- e^{- x}) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Bước 5

Nhân $e^{x}$ với $e^{- x}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Di chuyển $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} e^{x} \cdot - 1 - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Bước 5.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{e^{- x + x} \cdot - 1 - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Bước 5.3

Cộng $- x$ và $x$ .

$\frac{e^{0} \cdot - 1 - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Bước 6

Rút gọn $e^{0} \cdot - 1$ .

$\frac{- 1 - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Bước 7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{- 1 - (e^{- x} + 1) e^{x}}{e^{2 x}}$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- 1 + (- e^{- x} - 1 \cdot 1) e^{x}}{e^{2 x}}$

Bước 8.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- 1 - e^{- x} e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x}}{e^{2 x}}$

Bước 8.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1

Nhân $e^{- x}$ với $e^{x}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1.1

Di chuyển $e^{x}$ .

$\frac{- 1 - (e^{x} e^{- x}) - 1 \cdot 1 e^{x}}{e^{2 x}}$

Bước 8.3.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{- 1 - e^{x - x} - 1 \cdot 1 e^{x}}{e^{2 x}}$

Bước 8.3.1.1.3

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$\frac{- 1 - e^{0} - 1 \cdot 1 e^{x}}{e^{2 x}}$

Bước 8.3.1.2

Rút gọn $- e^{0}$ .

$\frac{- 1 - 1 - 1 \cdot 1 e^{x}}{e^{2 x}}$

Bước 8.3.1.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{- 1 - 1 - 1 e^{x}}{e^{2 x}}$

Bước 8.3.1.4

Viết lại $- 1 e^{x}$ ở dạng $- e^{x}$ .

$\frac{- 1 - 1 - e^{x}}{e^{2 x}}$

Bước 8.3.2

Trừ $1$ khỏi $- 1$ .

$\frac{- 2 - e^{x}}{e^{2 x}}$

Bước 8.4

Viết lại $- 2$ ở dạng $- 1 (2)$ .

$\frac{- 1 (2) - e^{x}}{e^{2 x}}$

Bước 8.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- e^{x}$ .

$\frac{- 1 (2) - (e^{x})}{e^{2 x}}$

Bước 8.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (2) - (e^{x})$ .

$\frac{- 1 (2 + e^{x})}{e^{2 x}}$

Bước 8.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2 + e^{x}}{e^{2 x}}$