Giải tích Ví dụ

$s = t^{2} \ln (| t |)$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} (t^{2} \ln (| t |))$

Bước 2

Đạo hàm của $s$ đối với $t$ là $s'$ .

$s'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ là $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ trong đó $f (t) = t^{2}$ và $g (t) = \ln (| t |)$ .

$t^{2} \frac{d}{d t} [\ln (| t |)] + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = \ln (t)$ và $g (t) = | t |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $| t |$ .

$t^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [| t |]) + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Bước 3.2.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$t^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [| t |]) + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Bước 3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $| t |$ .

$t^{2} (\frac{1}{| t |} \frac{d}{d t} [| t |]) + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Bước 3.3

Kết hợp $\frac{1}{| t |}$ và $t^{2}$ .

$\frac{t^{2}}{| t |} \frac{d}{d t} [| t |] + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Bước 3.4

Đạo hàm của $| t |$ đối với $t$ là $\frac{t}{| t |}$ .

$\frac{t^{2}}{| t |} \cdot \frac{t}{| t |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Bước 3.5

Nhân $\frac{t^{2}}{| t |}$ với $\frac{t}{| t |}$ .

$\frac{t^{2} t}{| t | | t |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Bước 3.6

Nhân $t^{2}$ với $t$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Nhân $t^{2}$ với $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1.1

Nâng $t$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{t^{2} t^{1}}{| t | | t |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Bước 3.6.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{t^{2 + 1}}{| t | | t |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Bước 3.6.2

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{t^{3}}{| t | | t |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Bước 3.7

Để nhân các giá trị tuyệt đối, nhân các số hạng bên trong mỗi giá trị tuyệt đối.

$\frac{t^{3}}{| t \cdot t |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Bước 3.8

Nâng $t$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{t^{3}}{| t^{1} t |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Bước 3.9

Nâng $t$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{t^{3}}{| t^{1} t^{1} |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Bước 3.10

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{t^{3}}{| t^{1 + 1} |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Bước 3.11

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{t^{3}}{| t^{2} |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Bước 3.12

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{t^{3}}{| t^{2} |} + \ln (| t |) (2 t)$

Bước 3.13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.13.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{t^{3}}{| t^{2} |} + 2 t \ln (| t |)$

Bước 3.13.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.13.2.1

Loại bỏ các số hạng không âm từ giá trị tuyệt đối.

$\frac{t^{3}}{t^{2}} + 2 t \ln (| t |)$

Bước 3.13.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $t^{3}$ và $t^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.13.2.2.1

Đưa $t^{2}$ ra ngoài $t^{3}$ .

$\frac{t^{2} t}{t^{2}} + 2 t \ln (| t |)$

Bước 3.13.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.13.2.2.2.1

Nhân với $1$ .

$\frac{t^{2} t}{t^{2} \cdot 1} + 2 t \ln (| t |)$

Bước 3.13.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{t^{2} t}{t^{2} \cdot 1} + 2 t \ln (| t |)$

Bước 3.13.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{t}{1} + 2 t \ln (| t |)$

Bước 3.13.2.2.2.4

Chia $t$ cho $1$ .

$t + 2 t \ln (| t |)$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$s' = t + 2 t \ln (| t |)$

Bước 5

Thay thế $s'$ bằng $\frac{d s}{d t}$ .

$\frac{d s}{d t} = t + 2 t \ln (| t |)$