Giải tích Ví dụ

$\ln (x - \sqrt{x^{2} - 1})$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x^{2} - 1}$ ở dạng ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\ln (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}])$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}])$

Bước 3.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 - \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}])$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = x^{2} - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x^{2} - 1$ .

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 - (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x^{2} - 1$ .

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 - (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))$

Bước 5

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 - (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))$

Bước 6

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 - (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))$

Bước 7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 - (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))$

Bước 8

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 - (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))$

Bước 8.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 - (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))$

Bước 9

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 - (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))$

Bước 9.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 - (\frac{{(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))$

Bước 9.3

Di chuyển ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 - (\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))$

Bước 10

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 - \frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Bước 11

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 - \frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Bước 12

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 - \frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0))$

Bước 13

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 - \frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x))$

Bước 13.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 - 2 \frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} x)$

Bước 13.3

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{- 2}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} x)$

Bước 13.4

Kết hợp $\frac{- 2}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ và $x$ .

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{- 2 x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Bước 13.5

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 x$ .

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{2 (- x)}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Bước 14

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{2 (- x)}{2 ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})})$

Bước 14.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{2 (- x)}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Bước 14.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{- x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Bước 15

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 - \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Bước 16

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Sắp xếp lại các thừa số của $\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 - \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}})$ .

$(1 - \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 16.2

Nhân $1 - \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ với $\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 - \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 16.3

Nhân tử số và mẫu số của phân số với ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.3.1

Nhân $\frac{1 - \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ với $\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1 - \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 16.3.2

Kết hợp.

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}})}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Bước 16.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (- \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}})}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (- {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Bước 16.5

Triệt tiêu thừa số chung ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.5.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ vào tử số.

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{- x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (- {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Bước 16.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

Bước 16.5.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (- {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Bước 16.6

Nhân ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ với $1$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} - x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (- {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Bước 16.7

Đưa ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (- {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.7.1

Sắp xếp lại biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.7.1.1

Sắp xếp lại ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ và $x$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} - x}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (- {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Bước 16.7.1.2

Sắp xếp lại ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ và $- 1$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} - x}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 16.7.2

Đưa ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài $x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} - x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x - 1 \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 16.7.3

Đưa ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài $- 1 \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} - x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (- {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Bước 16.7.4

Đưa ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (- {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} - x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Bước 16.8

Đưa $- 1$ ra ngoài ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 1 (- {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}) - x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Bước 16.9

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x$ .

$\frac{- 1 (- {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}) - (x)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Bước 16.10

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (- {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}) - (x)$ .

$\frac{- 1 (- {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + x)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Bước 16.11

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- 1 (x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Bước 16.12

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 1 (x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Bước 16.13

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 16.14

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$