Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{1} \frac{e^{2 x} - e^{- 2 x}}{e^{2 x} + e^{- 2 x}} d x$

Bước 1

Giả sử $u_{3} = e^{2 x} + e^{- 2 x}$ . Sau đó $d u_{3} = (2 e^{2 x} - 2 e^{- 2 x}) d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{3} = (e^{2 x} - e^{- 2 x}) d x$ . Viết lại bằng $u_{3}$ và $d$ $u_{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{3} = e^{2 x} + e^{- 2 x}$ . Tìm $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $e^{2 x} + e^{- 2 x}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} + e^{- 2 x}]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{2 x} + e^{- 2 x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Bước 1.1.3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Bước 1.1.3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Bước 1.1.3.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Bước 1.1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Bước 1.1.3.4

Nhân $2$ với $1$ .

$e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Bước 1.1.3.5

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Bước 1.1.4

Tính $\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $- 2 x$ .

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Bước 1.1.4.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ là $a^{u_{2}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$2 e^{2 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Bước 1.1.4.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $- 2 x$ .

$2 e^{2 x} + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Bước 1.1.4.2

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 e^{2 x} + e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.1.4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 e^{2 x} + e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)$

Bước 1.1.4.4

Nhân $- 2$ với $1$ .

$2 e^{2 x} + e^{- 2 x} \cdot - 2$

Bước 1.1.4.5

Di chuyển $- 2$ sang phía bên trái của $e^{- 2 x}$ .

$2 e^{2 x} - 2 e^{- 2 x}$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u_{3} = e^{2 x} + e^{- 2 x}$ .

$u_{lower} = e^{2 \cdot 0} + e^{- 2 \cdot 0}$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Nhân $2$ với $0$ .

$u_{lower} = e^{0} + e^{- 2 \cdot 0}$

Bước 1.3.1.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$u_{lower} = 1 + e^{- 2 \cdot 0}$

Bước 1.3.1.3

Nhân $- 2$ với $0$ .

$u_{lower} = 1 + e^{0}$

Bước 1.3.1.4

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$u_{lower} = 1 + 1$

Bước 1.3.2

Cộng $1$ và $1$ .

$u_{lower} = 2$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u_{3} = e^{2 x} + e^{- 2 x}$ .

$u_{upper} = e^{2 \cdot 1} + e^{- 2 \cdot 1}$

Bước 1.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Nhân $2$ với $1$ .

$u_{upper} = e^{2} + e^{- 2 \cdot 1}$

Bước 1.5.2

Nhân $- 2$ với $1$ .

$u_{upper} = e^{2} + e^{- 2}$

Bước 1.5.3

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u_{upper} = e^{2} + \frac{1}{e^{2}}$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = e^{2} + \frac{1}{e^{2}}$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{3}$ , $d u_{3}$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{2}^{e^{2} + \frac{1}{e^{2}}} \frac{1}{u_{3}} \cdot \frac{1}{2} d u_{3}$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân $\frac{1}{u_{3}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\int_{2}^{e^{2} + \frac{1}{e^{2}}} \frac{1}{u_{3} \cdot 2} d u_{3}$

Bước 2.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u_{3}$ .

$\int_{2}^{e^{2} + \frac{1}{e^{2}}} \frac{1}{2 u_{3}} d u_{3}$

Bước 3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{3}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int_{2}^{e^{2} + \frac{1}{e^{2}}} \frac{1}{u_{3}} d u_{3}$

Bước 4

Tích phân của $\frac{1}{u_{3}}$ đối với $u_{3}$ là $\ln (| u_{3} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u_{3} |)]_{2}^{e^{2} + \frac{1}{e^{2}}}$

Bước 5

Tính $\ln (| u_{3} |)$ tại $e^{2} + \frac{1}{e^{2}}$ và tại $2$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| e^{2} + \frac{1}{e^{2}} |) - \ln (| 2 |))$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| e^{2} + \frac{1}{e^{2}} |}{| 2 |})$

Bước 6.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\ln (\frac{| e^{2} + \frac{1}{e^{2}} |}{| 2 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| e^{2} + \frac{1}{e^{2}} |}{| 2 |})}{2}$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

$e^{2} + \frac{1}{e^{2}}$ xấp xỉ $7.52439138$ , là một số dương, nên ta loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối

$\frac{\ln (\frac{e^{2} + \frac{1}{e^{2}}}{| 2 |})}{2}$

Bước 7.1.2

Để viết $e^{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{e^{2}}{e^{2}}$ .

$\frac{\ln (\frac{\frac{e^{2} e^{2}}{e^{2}} + \frac{1}{e^{2}}}{| 2 |})}{2}$

Bước 7.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\ln (\frac{\frac{e^{2} e^{2} + 1}{e^{2}}}{| 2 |})}{2}$

Bước 7.1.4

Nhân $e^{2}$ với $e^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.4.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\ln (\frac{\frac{e^{2 + 2} + 1}{e^{2}}}{| 2 |})}{2}$

Bước 7.1.4.2

Cộng $2$ và $2$ .

$\frac{\ln (\frac{\frac{e^{4} + 1}{e^{2}}}{| 2 |})}{2}$

Bước 7.2

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $2$ là $2$ .

$\frac{\ln (\frac{\frac{e^{4} + 1}{e^{2}}}{2})}{2}$

Bước 7.3

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{\ln (\frac{e^{4} + 1}{e^{2}} \cdot \frac{1}{2})}{2}$

Bước 7.4

Nhân $\frac{e^{4} + 1}{e^{2}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln (\frac{e^{4} + 1}{e^{2} \cdot 2})}{2}$

Bước 7.5

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $e^{2}$ .

$\frac{\ln (\frac{e^{4} + 1}{2 e^{2}})}{2}$

Bước 8

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{\ln (\frac{e^{4} + 1}{2 e^{2}})}{2}$

Dạng thập phân:

$0.66250137 \dots$

Bước 9