Giải tích Ví dụ

$\int \frac{4 x}{x^{2} + 9} d x$

Bước 1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$4 \int \frac{x}{x^{2} + 9} d x$

Bước 2

Giả sử $u = x^{2} + 9$ . Sau đó $d u = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = x^{2} + 9$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $x^{2} + 9$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Bước 2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 9$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [9]$

Bước 2.1.4

Vì $9$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $9$ đối với $x$ là $0$ .

$2 x + 0$

Bước 2.1.5

Cộng $2 x$ và $0$ .

$2 x$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$4 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân $\frac{1}{u}$ với $\frac{1}{2}$ .

$4 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Bước 3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u$ .

$4 \int \frac{1}{2 u} d u$

Bước 4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $4$ .

$\frac{4}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Bước 5.2

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Bước 5.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

Bước 5.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

Bước 5.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{1} \int \frac{1}{u} d u$

Bước 5.2.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$2 \int \frac{1}{u} d u$

Bước 6

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$2 (\ln (| u |) + C)$

Bước 7

Rút gọn.

$2 \ln (| u |) + C$

Bước 8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + 9$ .

$2 \ln (| x^{2} + 9 |) + C$