Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{1} \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{3}} d x$

Bước 1

Giả sử $u = x^{2} + 1$ . Sau đó $d u = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = x^{2} + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$2 x + 0$

Bước 1.1.5

Cộng $2 x$ và $0$ .

$2 x$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = x^{2} + 1$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Bước 1.3.2

Cộng $0$ và $1$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = x^{2} + 1$ .

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$u_{upper} = 1 + 1$

Bước 1.5.2

Cộng $1$ và $1$ .

$u_{upper} = 2$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u^{3}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân $\frac{1}{u^{3}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u^{3} \cdot 2} d u$

Bước 2.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u^{3}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{1}{2 u^{3}} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u^{3}} d u$

Bước 4

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Di chuyển $u^{3}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} {(u^{3})}^{- 1} d u$

Bước 4.2

Nhân các số mũ trong ${(u^{3})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} u^{3 \cdot - 1} d u$

Bước 4.2.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} u^{- 3} d u$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- 3}$ đối với $u$ là $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} u^{- 2}]_{1}^{2}$

Bước 6

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tính $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ tại $2$ và tại $1$ .

$\frac{1}{2} ((- \frac{1}{2} \cdot 2^{- 2}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Bước 6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Bước 6.2.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Bước 6.2.3

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{4 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Bước 6.2.4

Nhân $4$ với $2$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{8} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Bước 6.2.5

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{8} + \frac{1}{2} \cdot 1)$

Bước 6.2.6

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{8} + \frac{1}{2})$

Bước 6.2.7

Để viết $\frac{1}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{8} + \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{4})$

Bước 6.2.8

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $8$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.8.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{8} + \frac{4}{2 \cdot 4})$

Bước 6.2.8.2

Nhân $2$ với $4$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{8} + \frac{4}{8})$

Bước 6.2.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 4}{8}$

Bước 6.2.10

Cộng $- 1$ và $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{8}$

Bước 6.2.11

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{3}{8}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 8}$

Bước 6.2.12

Nhân $2$ với $8$ .

$\frac{3}{16}$

Bước 7

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{3}{16}$

Dạng thập phân:

$0.1875$

Bước 8