Giải tích Ví dụ

$\int \frac{\ln^{2} (x)}{x^{3}} d x$

Bước 1

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Di chuyển $x^{3}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int \ln^{2} (x) {(x^{3})}^{- 1} d x$

Bước 1.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \ln^{2} (x) x^{3 \cdot - 1} d x$

Bước 1.2.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\int \ln^{2} (x) x^{- 3} d x$

Bước 2

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \ln^{2} (x)$ và $d v = x^{- 3}$ .

$\ln^{2} (x) (- \frac{1}{2 x^{2}}) - \int - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{\ln (x^{2})}{x} d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp $\ln^{2} (x)$ và $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \int - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{\ln (x^{2})}{x} d x$

Bước 3.2

Nhân $\frac{\ln (x^{2})}{x}$ với $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \int - \frac{\ln (x^{2})}{x (2 x^{2})} d x$

Bước 3.3

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \int - \frac{\ln (x^{2})}{2 (x^{1} x^{2})} d x$

Bước 3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \int - \frac{\ln (x^{2})}{2 x^{1 + 2}} d x$

Bước 3.5

Cộng $1$ và $2$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \int - \frac{\ln (x^{2})}{2 x^{3}} d x$

Bước 4

Viết lại $- \frac{\ln (x^{2})}{2 x^{3}}$ ở dạng $- \frac{2 \ln (x)}{2 x^{3}}$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \int - \frac{2 \ln (x)}{2 x^{3}} d x$

Bước 5

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - - \int \frac{2 \ln (x)}{2 x^{3}} d x$

Bước 6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - - \int \frac{2 \ln (x)}{2 x^{3}} d x$

Bước 6.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - - \int \frac{\ln (x)}{x^{3}} d x$

Bước 6.1.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} + 1 \int \frac{\ln (x)}{x^{3}} d x$

Bước 6.1.3

Nhân $\int \frac{\ln (x)}{x^{3}} d x$ với $1$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} + \int \frac{\ln (x)}{x^{3}} d x$

Bước 6.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Di chuyển $x^{3}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} + \int \ln (x) {(x^{3})}^{- 1} d x$

Bước 6.2.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} + \int \ln (x) x^{3 \cdot - 1} d x$

Bước 6.2.2.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} + \int \ln (x) x^{- 3} d x$

Bước 7

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \ln (x)$ và $d v = x^{- 3}$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} + \ln (x) (- \frac{1}{2 x^{2}}) - \int - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{1}{x} d x$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Kết hợp $\ln (x)$ và $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} - \int - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{1}{x} d x$

Bước 8.2

Nhân $\frac{1}{x}$ với $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} - \int - \frac{1}{x (2 x^{2})} d x$

Bước 8.3

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} - \int - \frac{1}{2 (x^{1} x^{2})} d x$

Bước 8.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} - \int - \frac{1}{2 x^{1 + 2}} d x$

Bước 8.5

Cộng $1$ và $2$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} - \int - \frac{1}{2 x^{3}} d x$

Bước 9

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} - - \int \frac{1}{2 x^{3}} d x$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + 1 \int \frac{1}{2 x^{3}} d x$

Bước 10.2

Nhân $\int \frac{1}{2 x^{3}} d x$ với $1$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \int \frac{1}{2 x^{3}} d x$

Bước 11

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Bước 12

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Di chuyển $x^{3}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \frac{1}{2} \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Bước 12.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \frac{1}{2} \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Bước 12.2.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \frac{1}{2} \int x^{- 3} d x$

Bước 13

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 3}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Bước 14

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Viết lại $- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$ ở dạng $- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}}) + C$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}}) + C$

Bước 14.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Nhân $\frac{1}{x^{2}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{x^{2} \cdot 2}) + C$

Bước 14.2.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x^{2}$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 \cdot x^{2}}) + C$

Bước 14.2.3

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} - \frac{1}{2 (2 x^{2})} + C$

Bước 14.2.4

Nhân $2$ với $2$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} - \frac{1}{4 x^{2}} + C$