Giải tích Ví dụ

\int \csc^{3} (x) d x

$\int \csc^{3} (x) d x$

Bước 1

Áp dụng công thức rút gọn.

- \frac{\cot (x) \csc (x)}{2} + \frac{1}{2} \int \csc (x) d x

$- \frac{\cot (x) \csc (x)}{2} + \frac{1}{2} \int \csc (x) d x$

Bước 2

Tích phân của

\csc (x)

$\csc (x)$ đối với

x

$x$ là

\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)

$\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ .

- \frac{\cot (x) \csc (x)}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C)

$- \frac{\cot (x) \csc (x)}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C)$

Bước 3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại

- \frac{\cot (x) \csc (x)}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C)

$- \frac{\cot (x) \csc (x)}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C)$ ở dạng

- \frac{1}{2} \cot (x) \csc (x) + \frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C

$- \frac{1}{2} \cot (x) \csc (x) + \frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C$ .

- \frac{1}{2} \cot (x) \csc (x) + \frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C

$- \frac{1}{2} \cot (x) \csc (x) + \frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C$

Bước 3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Kết hợp

\cot (x)

$\cot (x)$ và

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

- \frac{\cot (x)}{2} \csc (x) + \frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C

$- \frac{\cot (x)}{2} \csc (x) + \frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C$

Bước 3.2.2

Kết hợp

\csc (x)

$\csc (x)$ và

\frac{\cot (x)}{2}

$\frac{\cot (x)}{2}$ .

- \frac{\csc (x) \cot (x)}{2} + \frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C

$- \frac{\csc (x) \cot (x)}{2} + \frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C$

Bước 3.2.3

Để viết

\frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |)

$\frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

- \frac{\csc (x) \cot (x)}{2} + \frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) \cdot \frac{2}{2} + C

$- \frac{\csc (x) \cot (x)}{2} + \frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) \cdot \frac{2}{2} + C$

Bước 3.2.4

Kết hợp

\frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |)

$\frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ và

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

- \frac{\csc (x) \cot (x)}{2} + \frac{\frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) \cdot 2}{2} + C

$- \frac{\csc (x) \cot (x)}{2} + \frac{\frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) \cdot 2}{2} + C$

Bước 3.2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

\frac{- \csc (x) \cot (x) + \frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) \cdot 2}{2} + C

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) \cdot 2}{2} + C$

Bước 3.2.6

Kết hợp

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ và

\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)

$\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ .

\frac{- \csc (x) \cot (x) + \frac{\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)}{2} \cdot 2}{2} + C

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \frac{\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)}{2} \cdot 2}{2} + C$

Bước 3.2.7

Kết hợp

\frac{\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)}{2}

$\frac{\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)}{2}$ và

2

$2$ .

\frac{- \csc (x) \cot (x) + \frac{\ln (| \csc (x) - \cot (x) |) \cdot 2}{2}}{2} + C

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \frac{\ln (| \csc (x) - \cot (x) |) \cdot 2}{2}}{2} + C$

Bước 3.2.8

Di chuyển

2

$2$ sang phía bên trái của

\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)

$\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ .

\frac{- \csc (x) \cot (x) + \frac{2 \cdot \ln (| \csc (x) - \cot (x) |)}{2}}{2} + C

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \frac{2 \cdot \ln (| \csc (x) - \cot (x) |)}{2}}{2} + C$

Bước 3.2.9

Triệt tiêu thừa số chung

2

$2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.9.1

Triệt tiêu thừa số chung.

\frac{- \csc (x) \cot (x) + \frac{2 \ln (| \csc (x) - \cot (x) |)}{2}}{2} + C

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \frac{2 \ln (| \csc (x) - \cot (x) |)}{2}}{2} + C$

Bước 3.2.9.2

Chia

\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)

$\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ cho

1

$1$ .

\frac{- \csc (x) \cot (x) + \ln (| \csc (x) - \cot (x) |)}{2} + C

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \ln (| \csc (x) - \cot (x) |)}{2} + C$

\frac{- \csc (x) \cot (x) + \ln (| \csc (x) - \cot (x) |)}{2} + C

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \ln (| \csc (x) - \cot (x) |)}{2} + C$

\frac{- \csc (x) \cot (x) + \ln (| \csc (x) - \cot (x) |)}{2} + C

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \ln (| \csc (x) - \cot (x) |)}{2} + C$

Bước 3.3

Sắp xếp lại các số hạng.

\frac{1}{2} (- \csc (x) \cot (x) + \ln (| \csc (x) - \cot (x) |)) + C

$\frac{1}{2} (- \csc (x) \cot (x) + \ln (| \csc (x) - \cot (x) |)) + C$

\frac{1}{2} (- \csc (x) \cot (x) + \ln (| \csc (x) - \cot (x) |)) + C

$\frac{1}{2} (- \csc (x) \cot (x) + \ln (| \csc (x) - \cot (x) |)) + C$