Giải tích Ví dụ

$\int_{- 1}^{1} (4 x^{2} - 1) (x + 3) d x$

Bước 1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int_{- 1}^{1} 4 x^{2} (x + 3) - 1 (x + 3) d x$

Bước 1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int_{- 1}^{1} 4 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot 3 - 1 (x + 3) d x$

Bước 1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int_{- 1}^{1} 4 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3 d x$

Bước 1.4

Di chuyển $x^{2}$ .

$\int_{- 1}^{1} 4 x^{2} x + 4 \cdot 3 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 3 d x$

Bước 1.5

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\int_{- 1}^{1} 4 (x^{2} x^{1}) + 4 \cdot 3 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 3 d x$

Bước 1.6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int_{- 1}^{1} 4 x^{2 + 1} + 4 \cdot 3 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 3 d x$

Bước 1.7

Cộng $2$ và $1$ .

$\int_{- 1}^{1} 4 x^{3} + 4 \cdot 3 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 3 d x$

Bước 1.8

Nhân $4$ với $3$ .

$\int_{- 1}^{1} 4 x^{3} + 12 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 3 d x$

Bước 1.9

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\int_{- 1}^{1} 4 x^{3} + 12 x^{2} - 1 x - 3 d x$

Bước 2

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$\int_{- 1}^{1} 4 x^{3} + 12 x^{2} - x - 3 d x$

Bước 3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{- 1}^{1} 4 x^{3} d x + \int_{- 1}^{1} 12 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} - x d x + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

Bước 4

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$4 \int_{- 1}^{1} x^{3} d x + \int_{- 1}^{1} 12 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} - x d x + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$4 (\frac{1}{4} x^{4}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 12 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} - x d x + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

Bước 6

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $x^{4}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 12 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} - x d x + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

Bước 7

Vì $12$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $12$ ra khỏi tích phân.

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + 12 \int_{- 1}^{1} x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} - x d x + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + 12 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - x d x + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

Bước 9

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - x d x + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

Bước 10

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - \int_{- 1}^{1} x d x + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

Bước 11

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

Bước 12

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

Bước 13

Áp dụng quy tắc hằng số.

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) + - 3 x]_{- 1}^{1}$

Bước 14

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Tính $\frac{x^{4}}{4}$ tại $1$ và tại $- 1$ .

$4 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) + - 3 x]_{- 1}^{1}$

Bước 14.2

Tính $\frac{x^{3}}{3}$ tại $1$ và tại $- 1$ .

$4 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) + - 3 x]_{- 1}^{1}$

Bước 14.3

Tính $\frac{x^{2}}{2}$ tại $1$ và tại $- 1$ .

$4 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + - 3 x]_{- 1}^{1}$

Bước 14.4

Tính $- 3 x$ tại $1$ và tại $- 1$ .

$4 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Bước 14.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.5.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$4 (\frac{1}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Bước 14.5.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $4$ .

$4 (\frac{1}{4} - \frac{1}{4}) + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Bước 14.5.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$4 \frac{1 - 1}{4} + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Bước 14.5.4

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$4 (\frac{0}{4}) + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Bước 14.5.5

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.5.5.1

Đưa $4$ ra ngoài $0$ .

$4 \frac{4 (0)}{4} + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Bước 14.5.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.5.5.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$4 \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Bước 14.5.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Bước 14.5.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$4 (\frac{0}{1}) + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Bước 14.5.5.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$4 \cdot 0 + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Bước 14.5.6

Nhân $4$ với $0$ .

$0 + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Bước 14.5.7

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$0 + 12 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Bước 14.5.8

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$0 + 12 (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Bước 14.5.9

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$0 + 12 (\frac{1}{3} - - \frac{1}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Bước 14.5.10

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$0 + 12 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3})) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Bước 14.5.11

Nhân $\frac{1}{3}$ với $1$ .

$0 + 12 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Bước 14.5.12

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$0 + 12 \frac{1 + 1}{3} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Bước 14.5.13

Cộng $1$ và $1$ .

$0 + 12 (\frac{2}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Bước 14.5.14

Kết hợp $12$ và $\frac{2}{3}$ .

$0 + \frac{12 \cdot 2}{3} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Bước 14.5.15

Nhân $12$ với $2$ .

$0 + \frac{24}{3} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Bước 14.5.16

Triệt tiêu thừa số chung của $24$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.5.16.1

Đưa $3$ ra ngoài $24$ .

$0 + \frac{3 \cdot 8}{3} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Bước 14.5.16.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.5.16.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$0 + \frac{3 \cdot 8}{3 (1)} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Bước 14.5.16.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$0 + \frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 1} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Bước 14.5.16.2.3

Viết lại biểu thức.

$0 + \frac{8}{1} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Bước 14.5.16.2.4

Chia $8$ cho $1$ .

$0 + 8 - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Bước 14.5.17

Cộng $0$ và $8$ .

$8 - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Bước 14.5.18

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$8 - (\frac{1}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Bước 14.5.19

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$8 - (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Bước 14.5.20

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$8 - \frac{1 - 1}{2} - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Bước 14.5.21

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$8 - \frac{0}{2} - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Bước 14.5.22

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.5.22.1

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$8 - \frac{2 (0)}{2} - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Bước 14.5.22.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.5.22.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Bước 14.5.22.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Bước 14.5.22.2.3

Viết lại biểu thức.

$8 - \frac{0}{1} - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Bước 14.5.22.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$8 - 0 - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Bước 14.5.23

Nhân $- 1$ với $0$ .

$8 + 0 - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Bước 14.5.24

Cộng $8$ và $0$ .

$8 - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Bước 14.5.25

Nhân $- 3$ với $1$ .

$8 - 3 + 3 \cdot - 1$

Bước 14.5.26

Nhân $3$ với $- 1$ .

$8 - 3 - 3$

Bước 14.5.27

Trừ $3$ khỏi $- 3$ .

$8 - 6$

Bước 14.5.28

Trừ $6$ khỏi $8$ .

$2$

Bước 15