Giải tích Ví dụ

$x^{\frac{1}{x}}$

Bước 1

Sử dụng các tính chất của logarit để rút gọn đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại $x^{\frac{1}{x}}$ ở dạng $e^{\ln (x^{\frac{1}{x}})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\frac{1}{x}})}]$

Bước 1.2

Khai triển $\ln (x^{\frac{1}{x}})$ bằng cách di chuyển $\frac{1}{x}$ ra bên ngoài lôgarit.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x} \ln (x)}]$

Bước 2

Kết hợp $\frac{1}{x}$ và $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{\ln (x)}{x}}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = \frac{\ln (x)}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{\ln (x)}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{\ln (x)}{x}$ .

$e^{\frac{\ln (x)}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x$ .

$e^{\frac{\ln (x)}{x}} \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 5

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$e^{\frac{\ln (x)}{x}} \frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{x}$ .

$e^{\frac{\ln (x)}{x}} \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 6.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{\frac{\ln (x)}{x}} \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 6.2.2

Viết lại biểu thức.

$e^{\frac{\ln (x)}{x}} \frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 6.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$e^{\frac{\ln (x)}{x}} \frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

Bước 6.4

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$e^{\frac{\ln (x)}{x}} \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Bước 6.4.2

Kết hợp $e^{\frac{\ln (x)}{x}}$ và $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (x)}{x}} (1 - \ln (x))}{x^{2}}$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{e^{\frac{\ln (x)}{x}} \cdot 1 + e^{\frac{\ln (x)}{x}} (- \ln (x))}{x^{2}}$

Bước 7.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Nhân $e^{\frac{\ln (x)}{x}}$ với $1$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (x)}{x}} + e^{\frac{\ln (x)}{x}} (- \ln (x))}{x^{2}}$

Bước 7.2.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{e^{\frac{\ln (x)}{x}} - e^{\frac{\ln (x)}{x}} \ln (x)}{x^{2}}$

Bước 7.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- e^{\frac{\ln (x)}{x}} \ln (x) + e^{\frac{\ln (x)}{x}}}{x^{2}}$