Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{\ln (x)}{x}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 1.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

Bước 1.3.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

Bước 2.2.1.2

Nhân $2$ với $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Bước 2.2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - \ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \ln (x))) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Bước 2.2.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (0 + \frac{d}{d x} (- \ln (x))) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Bước 2.2.4

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (- \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Bước 2.2.5

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \ln (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- \frac{d}{d x} \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Bước 2.3

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- \frac{1}{x}) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Kết hợp $x^{2}$ và $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2}}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Bước 2.4.2

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{2}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{x \cdot x}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Bước 2.4.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{x \cdot x}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Bước 2.4.2.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Bước 2.4.2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Bước 2.4.2.2.4

Viết lại biểu thức.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x}{1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Bước 2.4.2.2.5

Chia $x$ cho $1$ .

$f'' (x) = \frac{- x - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Bước 2.4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{- x - (1 - \ln (x)) (2 x)}{x^{4}}$

Bước 2.4.4

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.4.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- x - 2 (1 - \ln (x)) x}{x^{4}}$

Bước 2.4.4.2

Đưa $x$ ra ngoài $- x - 2 (1 - \ln (x)) x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.4.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $- x$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 1 - 2 (1 - \ln (x)) x}{x^{4}}$

Bước 2.4.4.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $- 2 (1 - \ln (x)) x$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 1 + x (- 2 (1 - \ln (x)))}{x^{4}}$

Bước 2.4.4.2.3

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot - 1 + x (- 2 (1 - \ln (x)))$ .

$f'' (x) = \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x^{4}}$

Bước 2.5

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

Bước 2.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f'' (x) = \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

Bước 2.5.3

Viết lại biểu thức.

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 (1 - \ln (x))}{x^{3}}$

Bước 2.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 \cdot 1 - 2 (- \ln (x))}{x^{3}}$

Bước 2.6.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.1.1

Nhân $- 2$ với $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 - 2 (- \ln (x))}{x^{3}}$

Bước 2.6.2.1.2

Nhân $- 2 (- \ln (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.1.2.1

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 + 2 \ln (x)}{x^{3}}$

Bước 2.6.2.1.2.2

Rút gọn $2 \ln (x)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 + \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Bước 2.6.2.2

Trừ $2$ khỏi $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 3 + \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Bước 2.6.3

Viết lại $- 3$ ở dạng $- 1 (3)$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 3 + \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Bước 2.6.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $\ln (x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 3 - 1 (- \ln (x^{2}))}{x^{3}}$

Bước 2.6.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (3) - 1 (- \ln (x^{2}))$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 (3 - \ln (x^{2}))}{x^{3}}$

Bước 2.6.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (x) = - \frac{3 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

$\frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 4.1.2

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 4.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 4.1.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 4.1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

Bước 4.1.3.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Bước 4.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ .

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Bước 5

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$

Bước 5.2

Cho tử bằng không.

$1 - \ln (x) = 0$

Bước 5.3

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- \ln (x) = - 1$

Bước 5.3.2

Chia mỗi số hạng trong $- \ln (x) = - 1$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- \ln (x) = - 1$ cho $- 1$ .

$\frac{- \ln (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 5.3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\ln (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 5.3.2.2.2

Chia $\ln (x)$ cho $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 5.3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.3.1

Chia $- 1$ cho $- 1$ .

$\ln (x) = 1$

Bước 5.3.3

Để giải tìm $x$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (x)} = e^{1}$

Bước 5.3.4

Viết lại $\ln (x) = 1$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{1} = x$

Bước 5.3.5

Viết lại phương trình ở dạng $x = e^{1}$ .

$x = e$

Bước 6

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đặt mẫu số trong $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x^{2} = 0$

Bước 6.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{0}$

Bước 6.2.2

Rút gọn $\pm \sqrt{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Bước 6.2.2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 0$

Bước 6.2.2.3

Cộng hoặc trừ $0$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 6.3

Đặt đối số trong $\ln (x)$ nhỏ hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x \leq 0$

Bước 6.4

Phương trình không xác định tại mẫu số bằng $0$ , đối số của một căn bậc hai nhỏ hơn $0$ , hoặc đối số của một logarit nhỏ hơn hoặc bằng $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Bước 7

Các điểm cực trị cần tính.

$x = e$

Bước 8

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = e$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- \frac{3 - \ln ({(e)}^{2})}{{(e)}^{3}}$

Bước 9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Sử dụng các quy tắc logarit để di chuyển $2$ ra khỏi số mũ.

$- \frac{3 - (2 \ln (e))}{e^{3}}$

Bước 9.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$- \frac{3 - (2 \cdot 1)}{e^{3}}$

Bước 9.3

Nhân $2$ với $1$ .

$- \frac{3 - 1 \cdot 2}{e^{3}}$

Bước 9.4

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- \frac{3 - 2}{e^{3}}$

Bước 9.5

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$- \frac{1}{e^{3}}$

Bước 10

$x = e$ là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = e$ là cực đại địa phương

Bước 11

Tìm giá trị y khi $x = e$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Thay thế biến $x$ bằng $e$ trong biểu thức.

$f (e) = \frac{\ln (e)}{e}$

Bước 11.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$f (e) = \frac{1}{e}$

Bước 11.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{1}{e}$ .

$y = \frac{1}{e}$

Bước 12

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = \frac{\ln (x)}{x}$ .

$(e, \frac{1}{e})$ là một cực đại địa phuơng

Bước 13