Giải tích Ví dụ

$\int \sqrt{16 - x^{2}} d x$

Bước 1

Giả sử $x = 4 \sin (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d x = 4 \cos (t) d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $4 \cos (t)$ dương.

$\int \sqrt{16 - {(4 \sin (t))}^{2}} (4 \cos (t)) d t$

Bước 2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn $\sqrt{16 - {(4 \sin (t))}^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $4 \sin (t)$ .

$\int \sqrt{16 - (4^{2} \sin^{2} (t))} (4 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.1.2

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$\int \sqrt{16 - (16 \sin^{2} (t))} (4 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.1.3

Nhân $16$ với $- 1$ .

$\int \sqrt{16 - 16 \sin^{2} (t)} (4 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.2

Đưa $16$ ra ngoài $16$ .

$\int \sqrt{16 (1) - 16 \sin^{2} (t)} (4 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.3

Đưa $16$ ra ngoài $- 16 \sin^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))} (4 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.4

Đưa $16$ ra ngoài $16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \sqrt{16 (1 - \sin^{2} (t))} (4 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.5

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int \sqrt{16 \cos^{2} (t)} (4 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.6

Viết lại $16 \cos^{2} (t)$ ở dạng ${(4 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \sqrt{{(4 \cos (t))}^{2}} (4 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.7

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int 4 \cos (t) (4 \cos (t)) d t$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Nhân $4$ với $4$ .

$\int 16 \cos (t) \cos (t) d t$

Bước 2.2.2

Nâng $\cos (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int 16 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Bước 2.2.3

Nâng $\cos (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int 16 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Bước 2.2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int 16 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Bước 2.2.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\int 16 \cos^{2} (t) d t$

Bước 3

Vì $16$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $16$ ra khỏi tích phân.

$16 \int \cos^{2} (t) d t$

Bước 4

Sử dụng công thức góc chia đôi để viết lại $\cos^{2} (t)$ ở dạng $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$16 \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Bước 5

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$16 (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $16$ .

$\frac{16}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Bước 6.2

Triệt tiêu thừa số chung của $16$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $16$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Bước 6.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Bước 6.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Bước 6.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{8}{1} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Bước 6.2.2.4

Chia $8$ cho $1$ .

$8 \int 1 + \cos (2 t) d t$

Bước 7

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$8 (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Bước 8

Áp dụng quy tắc hằng số.

$8 (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Bước 9

Giả sử $u = 2 t$ . Sau đó $d u = 2 d t$ , nên $\frac{1}{2} d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Hãy đặt $u = 2 t$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Tính đạo hàm $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Bước 9.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $2 t$ đối với $t$ là $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Bước 9.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 9.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 9.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$8 (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Bước 10

Kết hợp $\cos (u)$ và $\frac{1}{2}$ .

$8 (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Bước 11

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$8 (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Bước 12

Tích phân của $\cos (u)$ đối với $u$ là $\sin (u)$ .

$8 (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Bước 13

Rút gọn.

$8 (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Bước 14

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $\arcsin (\frac{x}{4})$ .

$8 (\arcsin (\frac{x}{4}) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Bước 14.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 t$ .

$8 (\arcsin (\frac{x}{4}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Bước 14.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $\arcsin (\frac{x}{4})$ .

$8 (\arcsin (\frac{x}{4}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

Bước 15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))$ .

$8 (\arcsin (\frac{x}{4}) + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2}) + C$

Bước 15.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$8 \arcsin (\frac{x}{4}) + 8 \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

Bước 15.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$8 \arcsin (\frac{x}{4}) + 2 (4) \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

Bước 15.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$8 \arcsin (\frac{x}{4}) + 2 \cdot 4 \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

Bước 15.3.3

Viết lại biểu thức.

$8 \arcsin (\frac{x}{4}) + 4 \sin (2 \arcsin (\frac{x}{4})) + C$

Bước 16

Sắp xếp lại các số hạng.

$8 \arcsin (\frac{1}{4} x) + 4 \sin (2 \arcsin (\frac{1}{4} x)) + C$