Giải tích Ví dụ

$\tan (x + y) = x$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (\tan (x + y)) = \frac{d}{d x} (x)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \tan (x)$ và $g (x) = x + y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

Bước 2.1.2

Đạo hàm của $\tan (u)$ đối với $u$ là $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [x + y]$

Bước 2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + y$ .

$\sec^{2} (x + y) \frac{d}{d x} [x + y]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\sec^{2} (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\sec^{2} (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$\sec^{2} (x + y) (1 + y')$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$\sec^{2} (x + y) (1 + y') = 1$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chia mỗi số hạng trong $\sec^{2} (x + y) (1 + y') = 1$ cho $\sec^{2} (x + y)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Chia mỗi số hạng trong $\sec^{2} (x + y) (1 + y') = 1$ cho $\sec^{2} (x + y)$ .

$\frac{\sec^{2} (x + y) (1 + y')}{\sec^{2} (x + y)} = \frac{1}{\sec^{2} (x + y)}$

Bước 5.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $\sec^{2} (x + y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sec^{2} (x + y) (1 + y')}{\sec^{2} (x + y)} = \frac{1}{\sec^{2} (x + y)}$

Bước 5.1.2.1.2

Chia $1 + y'$ cho $1$ .

$1 + y' = \frac{1}{\sec^{2} (x + y)}$

Bước 5.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$1 + y' = \frac{1^{2}}{\sec^{2} (x + y)}$

Bước 5.1.3.2

Viết lại $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (x + y)}$ ở dạng ${(\frac{1}{\sec (x + y)})}^{2}$ .

$1 + y' = {(\frac{1}{\sec (x + y)})}^{2}$

Bước 5.1.3.3

Viết lại $\sec (x + y)$ theo sin và cosin.

$1 + y' = {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (x + y)}})}^{2}$

Bước 5.1.3.4

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{\cos (x + y)}$ .

$1 + y' = {(1 \cos (x + y))}^{2}$

Bước 5.1.3.5

Nhân $\cos (x + y)$ với $1$ .

$1 + y' = \cos^{2} (x + y)$

Bước 5.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y'$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y' = \cos^{2} (x + y) - 1$

Bước 5.2.2

Sắp xếp lại $\cos^{2} (x + y)$ và $- 1$ .

$y' = - 1 + \cos^{2} (x + y)$

Bước 5.2.3

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$y' = - 1 (1) + \cos^{2} (x + y)$

Bước 5.2.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $\cos^{2} (x + y)$ .

$y' = - 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x + y))$

Bước 5.2.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x + y))$ .

$y' = - 1 (1 - \cos^{2} (x + y))$

Bước 5.2.6

Viết lại $- 1 (1 - \cos^{2} (x + y))$ ở dạng $- (1 - \cos^{2} (x + y))$ .

$y' = - (1 - \cos^{2} (x + y))$

Bước 5.2.7

Áp dụng đẳng thức pytago.

$y' = - \sin^{2} (x + y)$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \sin^{2} (x + y)$