Giải tích Ví dụ

$\int {(x^{2} - 9)}^{3} (2 x) d x$

Bước 1

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của ${(x^{2} - 9)}^{3}$ .

$\int 2 {(x^{2} - 9)}^{3} x d x$

Bước 2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int {(x^{2} - 9)}^{3} x d x$

Bước 3

Giả sử $u = x^{2} - 9$ . Sau đó $d u = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u = x^{2} - 9$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $x^{2} - 9$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

Bước 3.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 9$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Bước 3.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 9]$

Bước 3.1.4

Vì $- 9$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 9$ đối với $x$ là $0$ .

$2 x + 0$

Bước 3.1.5

Cộng $2 x$ và $0$ .

$2 x$

Bước 3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$2 \int u^{3} \frac{1}{2} d u$

Bước 4

Kết hợp $u^{3}$ và $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{u^{3}}{2} d u$

Bước 5

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$2 (\frac{1}{2} \int u^{3} d u)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{2}{2} \int u^{3} d u$

Bước 6.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{2} \int u^{3} d u$

Bước 6.2.2

Viết lại biểu thức.

$1 \int u^{3} d u$

Bước 6.3

Nhân $\int u^{3} d u$ với $1$ .

$\int u^{3} d u$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{3}$ đối với $u$ là $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C$

Bước 8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} - 9$ .

$\frac{1}{4} {(x^{2} - 9)}^{4} + C$