Giải tích Ví dụ

$\frac{2}{x} - \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{x^{4}}$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{2}{x} - \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{x^{4}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{2}{x}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Bước 2.2

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$2 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Bước 2.4

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{2}{x^{3}}$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$- 2 x^{- 2} - 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Bước 3.2

Viết lại $\frac{1}{x^{3}}$ ở dạng ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$- 2 x^{- 2} - 2 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x^{3}$ .

$- 2 x^{- 2} - 2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- 2 x^{- 2} - 2 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Bước 3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x^{3}$ .

$- 2 x^{- 2} - 2 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$- 2 x^{- 2} - 2 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Bước 3.5

Nhân các số mũ trong ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 x^{- 2} - 2 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Bước 3.5.2

Nhân $3$ với $- 2$ .

$- 2 x^{- 2} - 2 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Bước 3.6

Nhân $3$ với $- 1$ .

$- 2 x^{- 2} - 2 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Bước 3.7

Nhân $x^{- 6}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$- 2 x^{- 2} - 2 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Bước 3.7.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 2 x^{- 2} - 2 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Bước 3.7.3

Trừ $6$ khỏi $2$ .

$- 2 x^{- 2} - 2 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Bước 3.8

Nhân $- 3$ với $- 2$ .

$- 2 x^{- 2} + 6 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Bước 4

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $\frac{1}{x^{4}}$ ở dạng ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$- 2 x^{- 2} + 6 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x^{4}$ .

$- 2 x^{- 2} + 6 x^{- 4} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 4.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- 2 x^{- 2} + 6 x^{- 4} - {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 4.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x^{4}$ .

$- 2 x^{- 2} + 6 x^{- 4} - {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$- 2 x^{- 2} + 6 x^{- 4} - {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})$

Bước 4.4

Nhân các số mũ trong ${(x^{4})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 x^{- 2} + 6 x^{- 4} - x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})$

Bước 4.4.2

Nhân $4$ với $- 2$ .

$- 2 x^{- 2} + 6 x^{- 4} - x^{- 8} (4 x^{3})$

Bước 4.5

Nhân $4$ với $- 1$ .

$- 2 x^{- 2} + 6 x^{- 4} - 4 x^{- 8} x^{3}$

Bước 4.6

Nhân $x^{- 8}$ với $x^{3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Di chuyển $x^{3}$ .

$- 2 x^{- 2} + 6 x^{- 4} - 4 (x^{3} x^{- 8})$

Bước 4.6.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 2 x^{- 2} + 6 x^{- 4} - 4 x^{3 - 8}$

Bước 4.6.3

Trừ $8$ khỏi $3$ .

$- 2 x^{- 2} + 6 x^{- 4} - 4 x^{- 5}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{2}} + 6 x^{- 4} - 4 x^{- 5}$

Bước 5.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{2}} + 6 \frac{1}{x^{4}} - 4 x^{- 5}$

Bước 5.3

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{2}} + 6 \frac{1}{x^{4}} - 4 \frac{1}{x^{5}}$

Bước 5.4

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 2}{x^{2}} + 6 \frac{1}{x^{4}} - 4 \frac{1}{x^{5}}$

Bước 5.4.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2}{x^{2}} + 6 \frac{1}{x^{4}} - 4 \frac{1}{x^{5}}$

Bước 5.4.3

Kết hợp $6$ và $\frac{1}{x^{4}}$ .

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{6}{x^{4}} - 4 \frac{1}{x^{5}}$

Bước 5.4.4

Kết hợp $- 4$ và $\frac{1}{x^{5}}$ .

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{6}{x^{4}} + \frac{- 4}{x^{5}}$

Bước 5.4.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{6}{x^{4}} - \frac{4}{x^{5}}$