Giải tích Ví dụ

$\frac{x}{x^{2} + 1}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.5

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x^{2} \cdot 1 + 1 \cdot 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$\frac{x^{2} + 1 \cdot 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.2.1.2

Nhân $1$ với $1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.2.1.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{x^{2} + 1 - 1 \cdot 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.2.1.4

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.4.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 1 \cdot 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.2.1.4.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 1 \cdot 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.2.1.5

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.2.2

Trừ $2 x^{2}$ khỏi $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 1^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.3.2

Sắp xếp lại $- x^{2}$ và $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.3.3

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 1$ và $b = x$ .

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$