Giải tích Ví dụ

$\tan^{2} (x^{4} + 1)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \tan (x^{4} + 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\tan (x^{4} + 1)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x^{4} + 1)]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\tan (x^{4} + 1)]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\tan (x^{4} + 1)$ .

$2 \tan (x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [\tan (x^{4} + 1)]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \tan (x)$ và $g (x) = x^{4} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x^{4} + 1$ .

$2 \tan (x^{4} + 1) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\tan (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\sec^{2} (u_{2})$ .

$2 \tan (x^{4} + 1) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x^{4} + 1$ .

$2 \tan (x^{4} + 1) (\sec^{2} (x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{4} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 \tan (x^{4} + 1) \sec^{2} (x^{4} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$2 \tan (x^{4} + 1) \sec^{2} (x^{4} + 1) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 3.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$2 \tan (x^{4} + 1) \sec^{2} (x^{4} + 1) (4 x^{3} + 0)$

Bước 3.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Cộng $4 x^{3}$ và $0$ .

$2 \tan (x^{4} + 1) \sec^{2} (x^{4} + 1) (4 x^{3})$

Bước 3.4.2

Nhân $4$ với $2$ .

$8 \tan (x^{4} + 1) \sec^{2} (x^{4} + 1) x^{3}$

Bước 3.4.3

Sắp xếp lại các thừa số của $8 \tan (x^{4} + 1) \sec^{2} (x^{4} + 1) x^{3}$ .

$8 x^{3} \sec^{2} (x^{4} + 1) \tan (x^{4} + 1)$