Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{45} \frac{1}{\sqrt{t + 4}} d t$

Bước 1

Giả sử $u = t + 4$ . Sau đó $d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = t + 4$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $t + 4$ .

$\frac{d}{d t} [t + 4]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $t + 4$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [4]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [4]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [4]$

Bước 1.1.4

Vì $4$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $4$ đối với $t$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 1.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $t$ trong $u = t + 4$ .

$u_{lower} = 0 + 4$

Bước 1.3

Cộng $0$ và $4$ .

$u_{lower} = 4$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $t$ trong $u = t + 4$ .

$u_{upper} = 45 + 4$

Bước 1.5

Cộng $45$ và $4$ .

$u_{upper} = 49$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 49$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{4}^{49} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{4}^{49} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Bước 2.2

Di chuyển $u^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int_{4}^{49} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Bước 2.3

Nhân các số mũ trong ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{4}^{49} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Bước 2.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\int_{4}^{49} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Bước 2.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int_{4}^{49} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- \frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}}]_{4}^{49}$

Bước 4

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính $2 u^{\frac{1}{2}}$ tại $49$ và tại $4$ .

$(2 \cdot 49^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Bước 4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Viết lại $49$ ở dạng $7^{2}$ .

$2 \cdot {(7^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Bước 4.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \cdot 7^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Bước 4.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \cdot 7^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Bước 4.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$2 \cdot 7^{1} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Bước 4.2.4

Tính số mũ.

$2 \cdot 7 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Bước 4.2.5

Nhân $2$ với $7$ .

$14 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Bước 4.2.6

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$14 - 2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Bước 4.2.7

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$14 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}$

Bước 4.2.8

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.8.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$14 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}$

Bước 4.2.8.2

Viết lại biểu thức.

$14 - 2 \cdot 2^{1}$

Bước 4.2.9

Tính số mũ.

$14 - 2 \cdot 2$

Bước 4.2.10

Nhân $- 2$ với $2$ .

$14 - 4$

Bước 4.2.11

Trừ $4$ khỏi $14$ .

$10$

Bước 5