Giải tích Ví dụ

$\int \arctan (4 t) d t$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \arctan (4 t)$ và $d v = 1$ .

$\arctan (4 t) t - \int t \frac{4}{16 t^{2} + 1} d t$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp $t$ và $\frac{4}{16 t^{2} + 1}$ .

$\arctan (4 t) t - \int \frac{t \cdot 4}{16 t^{2} + 1} d t$

Bước 2.2

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $t$ .

$\arctan (4 t) t - \int \frac{4 t}{16 t^{2} + 1} d t$

Bước 3

Vì $4$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$\arctan (4 t) t - (4 \int \frac{t}{16 t^{2} + 1} d t)$

Bước 4

Nhân $4$ với $- 1$ .

$\arctan (4 t) t - 4 \int \frac{t}{16 t^{2} + 1} d t$

Bước 5

Giả sử $u = 16 t^{2} + 1$ . Sau đó $d u = 32 t d t$ , nên $\frac{1}{32} d u = t d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u = 16 t^{2} + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $16 t^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d t} [16 t^{2} + 1]$

Bước 5.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $16 t^{2} + 1$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [16 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [16 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

Bước 5.1.3

Tính $\frac{d}{d t} [16 t^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1

Vì $16$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $16 t^{2}$ đối với $t$ là $16 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$16 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

Bước 5.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$16 (2 t) + \frac{d}{d t} [1]$

Bước 5.1.3.3

Nhân $2$ với $16$ .

$32 t + \frac{d}{d t} [1]$

Bước 5.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.4.1

Vì $1$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $1$ đối với $t$ là $0$ .

$32 t + 0$

Bước 5.1.4.2

Cộng $32 t$ và $0$ .

$32 t$

Bước 5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\arctan (4 t) t - 4 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{32} d u$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $\frac{1}{u}$ với $\frac{1}{32}$ .

$\arctan (4 t) t - 4 \int \frac{1}{u \cdot 32} d u$

Bước 6.2

Di chuyển $32$ sang phía bên trái của $u$ .

$\arctan (4 t) t - 4 \int \frac{1}{32 u} d u$

Bước 7

Vì $\frac{1}{32}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{32}$ ra khỏi tích phân.

$\arctan (4 t) t - 4 (\frac{1}{32} \int \frac{1}{u} d u)$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Kết hợp $\frac{1}{32}$ và $- 4$ .

$\arctan (4 t) t + \frac{- 4}{32} \int \frac{1}{u} d u$

Bước 8.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 4$ và $32$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 4$ .

$\arctan (4 t) t + \frac{4 (- 1)}{32} \int \frac{1}{u} d u$

Bước 8.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $32$ .

$\arctan (4 t) t + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 8} \int \frac{1}{u} d u$

Bước 8.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\arctan (4 t) t + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 8} \int \frac{1}{u} d u$

Bước 8.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\arctan (4 t) t + \frac{- 1}{8} \int \frac{1}{u} d u$

Bước 8.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\arctan (4 t) t - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u} d u$

Bước 9

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\arctan (4 t) t - \frac{1}{8} (\ln (| u |) + C)$

Bước 10

Rút gọn.

$\arctan (4 t) t - \frac{1}{8} \ln (| u |) + C$

Bước 11

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $16 t^{2} + 1$ .

$\arctan (4 t) t - \frac{1}{8} \ln (| 16 t^{2} + 1 |) + C$