Giải tích Ví dụ

$\int_{25}^{3} 6 \frac{\ln (y)}{\sqrt{y}} d y$

Bước 1

Kết hợp $6$ và $\frac{\ln (y)}{\sqrt{y}}$ .

$\int_{25}^{3} \frac{6 \ln (y)}{\sqrt{y}} d y$

Bước 2

Vì $6$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $6$ ra khỏi tích phân.

$6 \int_{25}^{3} \frac{\ln (y)}{\sqrt{y}} d y$

Bước 3

Viết lại $\frac{\ln (y)}{\sqrt{y}}$ ở dạng một tích.

$6 \int_{25}^{3} \ln (y) \frac{1}{\sqrt{y}} d y$

Bước 4

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \ln (y)$ và $d v = \frac{1}{\sqrt{y}}$ .

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - \int_{25}^{3} 2 y^{\frac{1}{2}} \frac{1}{y} d y)$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{y}$ .

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - \int_{25}^{3} y^{\frac{1}{2}} \frac{2}{y} d y)$

Bước 5.2

Kết hợp $y^{\frac{1}{2}}$ và $\frac{2}{y}$ .

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - \int_{25}^{3} \frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{y} d y)$

Bước 5.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $y^{\frac{1}{2}}$ .

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - \int_{25}^{3} \frac{2 \cdot y^{\frac{1}{2}}}{y} d y)$

Bước 5.4

Di chuyển $y^{\frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - \int_{25}^{3} \frac{2}{y \cdot y^{- \frac{1}{2}}} d y)$

Bước 5.5

Nhân $y$ với $y^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Nhân $y$ với $y^{- \frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1.1

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - \int_{25}^{3} \frac{2}{y^{1} y^{- \frac{1}{2}}} d y)$

Bước 5.5.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - \int_{25}^{3} \frac{2}{y^{1 - \frac{1}{2}}} d y)$

Bước 5.5.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - \int_{25}^{3} \frac{2}{y^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d y)$

Bước 5.5.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - \int_{25}^{3} \frac{2}{y^{\frac{2 - 1}{2}}} d y)$

Bước 5.5.4

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - \int_{25}^{3} \frac{2}{y^{\frac{1}{2}}} d y)$

Bước 6

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - (2 \int_{25}^{3} \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y))$

Bước 7

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - 2 \int_{25}^{3} \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y)$

Bước 7.2

Di chuyển $y^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - 2 \int_{25}^{3} {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y)$

Bước 7.3

Nhân các số mũ trong ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - 2 \int_{25}^{3} y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y)$

Bước 7.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - 2 \int_{25}^{3} y^{\frac{- 1}{2}} d y)$

Bước 7.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - 2 \int_{25}^{3} y^{- \frac{1}{2}} d y)$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{- \frac{1}{2}}$ đối với $y$ là $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - 2 (2 y^{\frac{1}{2}}]_{25}^{3}))$

Bước 9

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tính $\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})$ tại $3$ và tại $25$ .

$6 ((\ln (3) (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})) - \ln (25) (2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}) - 2 (2 y^{\frac{1}{2}}]_{25}^{3}))$

Bước 9.2

Tính $2 y^{\frac{1}{2}}$ tại $3$ và tại $25$ .

$6 ((\ln (3) (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})) - \ln (25) (2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}))$

Bước 9.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\ln (3)$ .

$6 (2 \cdot \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \ln (25) (2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}))$

Bước 9.3.2

Viết lại $25$ ở dạng $5^{2}$ .

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \ln (25) (2 \cdot {(5^{2})}^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}))$

Bước 9.3.3

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \ln (25) (2 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})}) - 2 ((2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}))$

Bước 9.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \ln (25) (2 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})}) - 2 ((2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}))$

Bước 9.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \ln (25) (2 \cdot 5^{1}) - 2 ((2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}))$

Bước 9.3.5

Tính số mũ.

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \ln (25) (2 \cdot 5) - 2 ((2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}))$

Bước 9.3.6

Nhân $2$ với $5$ .

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \ln (25) \cdot 10 - 2 ((2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}))$

Bước 9.3.7

Nhân $10$ với $- 1$ .

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10 \ln (25) - 2 ((2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}))$

Bước 9.3.8

Viết lại $25$ ở dạng $5^{2}$ .

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10 \ln (25) - 2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot {(5^{2})}^{\frac{1}{2}}))$

Bước 9.3.9

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10 \ln (25) - 2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})}))$

Bước 9.3.10

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.10.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10 \ln (25) - 2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})}))$

Bước 9.3.10.2

Viết lại biểu thức.

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10 \ln (25) - 2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 5^{1}))$

Bước 9.3.11

Tính số mũ.

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10 \ln (25) - 2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 5))$

Bước 9.3.12

Nhân $- 2$ với $5$ .

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10 \ln (25) - 2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10))$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Viết lại $\ln (25)$ ở dạng $\ln (5^{2})$ .

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10 \ln (5^{2}) - 2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10))$

Bước 10.1.2

Khai triển $\ln (5^{2})$ bằng cách di chuyển $2$ ra bên ngoài lôgarit.

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10 (2 \ln (5)) - 2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10))$

Bước 10.1.3

Nhân $2$ với $- 10$ .

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 20 \ln (5) - 2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10))$

Bước 10.1.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 20 \ln (5) - 2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot - 10)$

Bước 10.1.5

Nhân $2$ với $- 2$ .

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 20 \ln (5) - 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot - 10)$

Bước 10.1.6

Nhân $- 2$ với $- 10$ .

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 20 \ln (5) - 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 20)$

Bước 10.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}}) + 6 (- 20 \ln (5)) + 6 (- 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) + 6 \cdot 20$

Bước 10.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Nhân $2$ với $6$ .

$12 (\ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}}) + 6 (- 20 \ln (5)) + 6 (- 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) + 6 \cdot 20$

Bước 10.3.2

Nhân $- 20$ với $6$ .

$12 (\ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 120 \ln (5) + 6 (- 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) + 6 \cdot 20$

Bước 10.3.3

Nhân $- 4$ với $6$ .

$12 (\ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 120 \ln (5) - 24 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 6 \cdot 20$

Bước 10.3.4

Nhân $6$ với $20$ .

$12 (\ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 120 \ln (5) - 24 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 120$

$12 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 120 \ln (5) - 24 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 120$

Bước 11

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$12 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 120 \ln (5) - 24 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 120$

Dạng thập phân:

$- 91.86754125 \dots$