Giải tích Ví dụ

$\int_{- 5}^{5} \sqrt{25 - x^{2}} d x$

Bước 1

Giả sử $x = 5 \sin (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d x = 5 \cos (t) d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $5 \cos (t)$ dương.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{25 - {(5 \sin (t))}^{2}} (5 \cos (t)) d t$

Bước 2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn $\sqrt{25 - {(5 \sin (t))}^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $5 \sin (t)$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{25 - (5^{2} \sin^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.1.2

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{25 - (25 \sin^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.1.3

Nhân $25$ với $- 1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{25 - 25 \sin^{2} (t)} (5 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.2

Đưa $25$ ra ngoài $25$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{25 (1) - 25 \sin^{2} (t)} (5 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.3

Đưa $25$ ra ngoài $- 25 \sin^{2} (t)$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.4

Đưa $25$ ra ngoài $25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{25 (1 - \sin^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.5

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{25 \cos^{2} (t)} (5 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.6

Viết lại $25 \cos^{2} (t)$ ở dạng ${(5 \cos (t))}^{2}$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{{(5 \cos (t))}^{2}} (5 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.7

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 5 \cos (t) (5 \cos (t)) d t$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Nhân $5$ với $5$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 25 \cos (t) \cos (t) d t$

Bước 2.2.2

Nâng $\cos (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 25 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Bước 2.2.3

Nâng $\cos (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 25 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Bước 2.2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 25 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Bước 2.2.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 25 \cos^{2} (t) d t$

Bước 3

Vì $25$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $25$ ra khỏi tích phân.

$25 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

Bước 4

Sử dụng công thức góc chia đôi để viết lại $\cos^{2} (t)$ ở dạng $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$25 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Bước 5

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$25 (\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t)$

Bước 6

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $25$ .

$\frac{25}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Bước 7

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{25}{2} (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Bước 8

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{25}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Bước 9

Giả sử $u = 2 t$ . Sau đó $d u = 2 d t$ , nên $\frac{1}{2} d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Hãy đặt $u = 2 t$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Tính đạo hàm $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Bước 9.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $2 t$ đối với $t$ là $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Bước 9.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 9.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 9.2

Thay giới hạn dưới vào cho $t$ trong $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

Bước 9.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{π}{2}$ vào tử số.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Bước 9.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Bước 9.3.3

Viết lại biểu thức.

$u_{lower} = - π$

Bước 9.4

Thay giới hạn trên vào cho $t$ trong $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Bước 9.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Bước 9.5.2

Viết lại biểu thức.

$u_{upper} = π$

Bước 9.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = - π$

$u_{upper} = π$

Bước 9.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\frac{25}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Bước 10

Kết hợp $\cos (u)$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{25}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Bước 11

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{25}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{- π}^{π} \cos (u) d u)$

Bước 12

Tích phân của $\cos (u)$ đối với $u$ là $\sin (u)$ .

$\frac{25}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{π})$

Bước 13

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Tính $t$ tại $\frac{π}{2}$ và tại $- \frac{π}{2}$ .

$\frac{25}{2} ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{π})$

Bước 13.2

Tính $\sin (u)$ tại $π$ và tại $- π$ .

$\frac{25}{2} ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Bước 13.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{25}{2} (\frac{π + π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Bước 13.3.2

Cộng $π$ và $π$ .

$\frac{25}{2} (\frac{2 π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Bước 13.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{25}{2} (\frac{2 π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Bước 13.3.3.2

Chia $π$ cho $1$ .

$\frac{25}{2} (π + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

$\frac{25}{2} (π + \frac{1}{2} (\sin (π) - \sin (- π)))$

Bước 14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1.1.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$\frac{25}{2} (π + \frac{1}{2} (\sin (0) - \sin (- π)))$

Bước 14.1.1.2

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$\frac{25}{2} (π + \frac{1}{2} (0 - \sin (- π)))$

Bước 14.1.1.3

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$\frac{25}{2} (π + \frac{1}{2} (0 - \sin (0)))$

Bước 14.1.1.4

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$\frac{25}{2} (π + \frac{1}{2} (0 - 0))$

Bước 14.1.1.5

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{25}{2} (π + \frac{1}{2} (0 + 0))$

Bước 14.1.2

Cộng $0$ và $0$ .

$\frac{25}{2} (π + \frac{1}{2} \cdot 0)$

Bước 14.1.3

Nhân $\frac{1}{2}$ với $0$ .

$\frac{25}{2} (π + 0)$

Bước 14.2

Cộng $π$ và $0$ .

$\frac{25}{2} π$

Bước 14.3

Kết hợp $\frac{25}{2}$ và $π$ .

$\frac{25 π}{2}$

Bước 15

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{25 π}{2}$

Dạng thập phân:

$39.26990816 \dots$

Bước 16