Giải tích Ví dụ

$\frac{e^{x}}{1 + x}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 1 + x$ .

$\frac{(1 + x) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{(1 + x) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 + x) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + x)}^{2}}$

Bước 3.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(1 + x) e^{x} - e^{x} (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + x)}^{2}}$

Bước 3.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 + x) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(1 + x) e^{x} - e^{x} \cdot 1}{{(1 + x)}^{2}}$

Bước 3.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{(1 + x) e^{x} - e^{x}}{{(1 + x)}^{2}}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1 e^{x} + x e^{x} - e^{x}}{{(1 + x)}^{2}}$

Bước 4.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Nhân $e^{x}$ với $1$ .

$\frac{e^{x} + x e^{x} - e^{x}}{{(1 + x)}^{2}}$

Bước 4.2.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $e^{x} + x e^{x} - e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Trừ $e^{x}$ khỏi $e^{x}$ .

$\frac{x e^{x} + 0}{{(1 + x)}^{2}}$

Bước 4.2.2.2

Cộng $x e^{x}$ và $0$ .

$\frac{x e^{x}}{{(1 + x)}^{2}}$

Bước 4.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{e^{x} x}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 4.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{e^{x} x}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{x e^{x}}{{(x + 1)}^{2}}$