Giải tích Ví dụ

$\int_{2}^{3} x \sqrt{x - 2} d x$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = \sqrt{x - 2}$ .

$x (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{3}{2}})]_{2}^{3} - \int_{2}^{3} \frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{3}{2}} d x$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và ${(x - 2)}^{\frac{3}{2}}$ .

$x \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{3}{2}}}{3}]_{2}^{3} - \int_{2}^{3} \frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{3}{2}} d x$

Bước 2.2

Kết hợp $x$ và $\frac{2 {(x - 2)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{x (2 {(x - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{2}^{3} - \int_{2}^{3} \frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{3}{2}} d x$

Bước 3

Vì $\frac{2}{3}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{2}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{x (2 {(x - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{2}^{3} - (\frac{2}{3} \int_{2}^{3} {(x - 2)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Bước 4

Giả sử $u = x - 2$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u = x - 2$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Bước 4.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 4.1.4

Vì $- 2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 4.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 4.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = x - 2$ .

$u_{lower} = 2 - 2$

Bước 4.3

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 4.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = x - 2$ .

$u_{upper} = 3 - 2$

Bước 4.5

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$u_{upper} = 1$

Bước 4.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Bước 4.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\frac{x (2 {(x - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{2}^{3} - \frac{2}{3} \int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} d u$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{3}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{x (2 {(x - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{2}^{3} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$

Bước 6

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tính $\frac{x (2 {(x - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3}$ tại $3$ và tại $2$ .

$(\frac{3 (2 {(3 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$

Bước 6.2

Tính $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ tại $1$ và tại $0$ .

$(\frac{3 (2 {(3 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$\frac{3 (2 \cdot 1^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{3 (2 \cdot 1)}{3} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.4

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{6}{3} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.5

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.5.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.5.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{1} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.5.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$2 - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.6

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$2 - \frac{2 (2 \cdot 0^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.7

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$2 - \frac{2 (2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.8

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 - \frac{2 (2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.9

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.9.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 - \frac{2 (2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.9.2

Viết lại biểu thức.

$2 - \frac{2 (2 \cdot 0^{3})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.10

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$2 - \frac{2 (2 \cdot 0)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.11

Nhân $2$ với $0$ .

$2 - \frac{2 \cdot 0}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.12

Nhân $2$ với $0$ .

$2 - \frac{0}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.13

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.13.1

Đưa $3$ ra ngoài $0$ .

$2 - \frac{3 (0)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.13.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.13.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$2 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.13.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.13.2.3

Viết lại biểu thức.

$2 - \frac{0}{1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.13.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$2 - 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.14

Nhân $- 1$ với $0$ .

$2 + 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.15

Cộng $2$ và $0$ .

$2 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.16

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$2 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 1 - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.17

Nhân $\frac{2}{5}$ với $1$ .

$2 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.18

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$2 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.19

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})})$

Bước 6.3.20

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.20.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})})$

Bước 6.3.20.2

Viết lại biểu thức.

$2 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{5})$

Bước 6.3.21

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$2 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0)$

Bước 6.3.22

Nhân $0$ với $- 1$ .

$2 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} + 0 (\frac{2}{5}))$

Bước 6.3.23

Nhân $0$ với $\frac{2}{5}$ .

$2 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} + 0)$

Bước 6.3.24

Cộng $\frac{2}{5}$ và $0$ .

$2 - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5}$

Bước 6.3.25

Nhân $\frac{2}{5}$ với $\frac{2}{3}$ .

$2 - \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 3}$

Bước 6.3.26

Nhân $2$ với $2$ .

$2 - \frac{4}{5 \cdot 3}$

Bước 6.3.27

Nhân $5$ với $3$ .

$2 - \frac{4}{15}$

Bước 6.3.28

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{15}{15}$ .

$2 \cdot \frac{15}{15} - \frac{4}{15}$

Bước 6.3.29

Kết hợp $2$ và $\frac{15}{15}$ .

$\frac{2 \cdot 15}{15} - \frac{4}{15}$

Bước 6.3.30

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 \cdot 15 - 4}{15}$

Bước 6.3.31

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.31.1

Nhân $2$ với $15$ .

$\frac{30 - 4}{15}$

Bước 6.3.31.2

Trừ $4$ khỏi $30$ .

$\frac{26}{15}$

Bước 7

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{26}{15}$

Dạng thập phân:

$1.7\overline{3}$

Dạng hỗn số:

$1 \frac{11}{15}$

Bước 8