Giải tích Ví dụ

$\int x^{2} \sqrt{x^{3} + 1} d x$

Bước 1

Giả sử $u = x^{3} + 1$ . Sau đó $d u = 3 x^{2} d x$ , nên $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = x^{3} + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $x^{3} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{3} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Bước 1.1.5

Cộng $3 x^{2}$ và $0$ .

$3 x^{2}$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

Bước 2

Kết hợp $\sqrt{u}$ và $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} \int \sqrt{u} d u$

Bước 4

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại $\frac{1}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ ở dạng $\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 6.2.2

Nhân $3$ với $3$ .

$\frac{2}{9} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{3} + 1$ .

$\frac{2}{9} {(x^{3} + 1)}^{\frac{3}{2}} + C$