Giải tích Ví dụ

y = 16 \sqrt[4]{4 x^{4} + 4}

$y = 16 \sqrt[4]{4 x^{4} + 4}$

Bước 1

Sử dụng

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại

\sqrt[4]{4 x^{4} + 4}

$\sqrt[4]{4 x^{4} + 4}$ ở dạng

{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}

${(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}$ .

y = 16 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}

$y = 16 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}$

Bước 2

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (16 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}})

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (16 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}})$

Bước 3

Đạo hàm của

y

$y$ đối với

x

$x$ là

$y'$ .

$y'$

Bước 4

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì

$16$ không đổi đối với

$x$ , nên đạo hàm của

$16 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}$ đối với

$x$ là

$16 \frac{d}{d x} [{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}]$ .

$16 \frac{d}{d x} [{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}]$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là

$f' (g (x)) g' (x)$ trong đó

$f (x) = x^{\frac{1}{4}}$ và

$g (x) = 4 x^{4} + 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập

$u$ ở dạng

$4 x^{4} + 4$ .

$16 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{4}}] \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Bước 4.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng

$\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là

$n u^{n - 1}$ trong đó

$n = \frac{1}{4}$ .

$16 (\frac{1}{4} u^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Bước 4.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của

$u$ với

$4 x^{4} + 4$ .

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Bước 4.3

Để viết

$- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với

$\frac{4}{4}$ .

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Bước 4.4

Kết hợp

$- 1$ và

$\frac{4}{4}$ .

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Bước 4.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Bước 4.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Nhân

$- 1$ với

$4$ .

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1 - 4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Bước 4.6.2

Trừ

$4$ khỏi

$1$ .

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{- 3}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Bước 4.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{- \frac{3}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Bước 4.8

Kết hợp

$\frac{1}{4}$ và

${(4 x^{4} + 4)}^{- \frac{3}{4}}$ .

$16 (\frac{{(4 x^{4} + 4)}^{- \frac{3}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Bước 4.9

Di chuyển

${(4 x^{4} + 4)}^{- \frac{3}{4}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$16 (\frac{1}{4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Bước 4.10

Kết hợp

$\frac{1}{4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}$ và

$16$ .

$\frac{16}{4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]$

Bước 4.11

Đưa

$4$ ra ngoài

$16$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]$

Bước 4.12

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.12.1

Đưa

$4$ ra ngoài

$4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4 ({(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}})} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]$

Bước 4.12.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 \cdot 4}{4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]$

Bước 4.12.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]$

Bước 4.13

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của

$4 x^{4} + 4$ đối với

$x$ là

$\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4])$

Bước 4.14

Vì

$4$ không đổi đối với

$x$ , nên đạo hàm của

$4 x^{4}$ đối với

$x$ là

$4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4])$

Bước 4.15

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là

$n x^{n - 1}$ trong đó

$n = 4$ .

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4])$

Bước 4.16

Nhân

$4$ với

$4$ .

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (16 x^{3} + \frac{d}{d x} [4])$

Bước 4.17

Vì

$4$ là hằng số đối với

$x$ , đạo hàm của

$4$ đối với

$x$ là

$0$ .

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (16 x^{3} + 0)$

Bước 4.18

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.18.1

Cộng

$16 x^{3}$ và

$0$ .

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (16 x^{3})$

Bước 4.18.2

Kết hợp

$16$ và

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}$ .

$\frac{16 \cdot 4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} x^{3}$

Bước 4.18.3

Nhân

$16$ với

$4$ .

$\frac{64}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} x^{3}$

Bước 4.18.4

Kết hợp

$\frac{64}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}$ và

$x^{3}$ .

$\frac{64 x^{3}}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}$

Bước 5

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = \frac{64 x^{3}}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}$

Bước 6

Thay thế

$y'$ bằng

$\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{64 x^{3}}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}$