Giải tích Ví dụ

\int_{0}^{8} \sqrt{8 x} d x

$\int_{0}^{8} \sqrt{8 x} d x$

Bước 1

Giả sử

u = 8 x

$u = 8 x$ . Sau đó

d u = 8 d x

$d u = 8 d x$ , nên

\frac{1}{8} d u = d x

$\frac{1}{8} d u = d x$ . Viết lại bằng

u

$u$ và

d

$d$

u

$u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt

u = 8 x

$u = 8 x$ . Tìm

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm

8 x

$8 x$ .

\frac{d}{d x} [8 x]

$\frac{d}{d x} [8 x]$

Bước 1.1.2

Vì

8

$8$ không đổi đối với

x

$x$ , nên đạo hàm của

8 x

$8 x$ đối với

x

$x$ là

8 \frac{d}{d x} [x]

$8 \frac{d}{d x} [x]$ .

8 \frac{d}{d x} [x]

$8 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ trong đó

n = 1

$n = 1$ .

8 \cdot 1

$8 \cdot 1$

Bước 1.1.4

Nhân

8

$8$ với

1

$1$ .

8

$8$

8

$8$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho

x

$x$ trong

u = 8 x

$u = 8 x$ .

u_{lower} = 8 \cdot 0

$u_{lower} = 8 \cdot 0$

Bước 1.3

Nhân

8

$8$ với

0

$0$ .

u_{lower} = 0

$u_{lower} = 0$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho

x

$x$ trong

u = 8 x

$u = 8 x$ .

u_{upper} = 8 \cdot 8

$u_{upper} = 8 \cdot 8$

Bước 1.5

Nhân

8

$8$ với

8

$8$ .

u_{upper} = 64

$u_{upper} = 64$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho

u_{lower}

$u_{lower}$ và

u_{upper}

$u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

u_{lower} = 0

$u_{lower} = 0$

u_{upper} = 64

$u_{upper} = 64$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng

u

$u$ ,

d u

$d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

\int_{0}^{64} \sqrt{u} \frac{1}{8} d u

$\int_{0}^{64} \sqrt{u} \frac{1}{8} d u$

\int_{0}^{64} \sqrt{u} \frac{1}{8} d u

$\int_{0}^{64} \sqrt{u} \frac{1}{8} d u$

Bước 2

Kết hợp

\sqrt{u}

$\sqrt{u}$ và

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$ .

\int_{0}^{64} \frac{\sqrt{u}}{8} d u

$\int_{0}^{64} \frac{\sqrt{u}}{8} d u$

Bước 3

Vì

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$ không đổi đối với

u

$u$ , hãy di chuyển

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$ ra khỏi tích phân.

\frac{1}{8} \int_{0}^{64} \sqrt{u} d u

$\frac{1}{8} \int_{0}^{64} \sqrt{u} d u$

Bước 4

Sử dụng

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại

\sqrt{u}

$\sqrt{u}$ ở dạng

u^{\frac{1}{2}}

$u^{\frac{1}{2}}$ .

\frac{1}{8} \int_{0}^{64} u^{\frac{1}{2}} d u

$\frac{1}{8} \int_{0}^{64} u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của

u^{\frac{1}{2}}

$u^{\frac{1}{2}}$ đối với

u

$u$ là

\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

\frac{1}{8} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{64}

$\frac{1}{8} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{64}$

Bước 6

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tính

\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ tại

64

$64$ và tại

0

$0$ .

\frac{1}{8} ((\frac{2}{3} \cdot 64^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{8} ((\frac{2}{3} \cdot 64^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Viết lại

64

$64$ ở dạng

8^{2}

$8^{2}$ .

\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot {(8^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot {(8^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.3

Triệt tiêu thừa số chung

2

$2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.3.2

Viết lại biểu thức.

\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 8^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 8^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 8^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 8^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.4

Nâng

8

$8$ lên lũy thừa

3

$3$ .

\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 512 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 512 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.5

Kết hợp

\frac{2}{3}

$\frac{2}{3}$ và

512

$512$ .

\frac{1}{8} (\frac{2 \cdot 512}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{8} (\frac{2 \cdot 512}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.6

Nhân

2

$2$ với

512

$512$ .

\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.7

Viết lại

0

$0$ ở dạng

0^{2}

$0^{2}$ .

\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.8

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Bước 6.2.9

Triệt tiêu thừa số chung

2

$2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.9.1

Triệt tiêu thừa số chung.

\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Bước 6.2.9.2

Viết lại biểu thức.

\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3})

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3})

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

Bước 6.2.10

Nâng

0

$0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho

0

$0$ .

\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0)

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0)$

Bước 6.2.11

Nhân

0

$0$ với

- 1

$- 1$ .

\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} + 0 (\frac{2}{3}))

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} + 0 (\frac{2}{3}))$

Bước 6.2.12

Nhân

0

$0$ với

\frac{2}{3}

$\frac{2}{3}$ .

\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} + 0)

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} + 0)$

Bước 6.2.13

Cộng

\frac{1024}{3}

$\frac{1024}{3}$ và

0

$0$ .

\frac{1}{8} \cdot \frac{1024}{3}

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1024}{3}$

Bước 6.2.14

Nhân

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$ với

\frac{1024}{3}

$\frac{1024}{3}$ .

\frac{1024}{8 \cdot 3}

$\frac{1024}{8 \cdot 3}$

Bước 6.2.15

Nhân

8

$8$ với

3

$3$ .

\frac{1024}{24}

$\frac{1024}{24}$

Bước 6.2.16

Triệt tiêu thừa số chung của

1024

$1024$ và

24

$24$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.16.1

Đưa

8

$8$ ra ngoài

1024

$1024$ .

\frac{8 (128)}{24}

$\frac{8 (128)}{24}$

Bước 6.2.16.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.16.2.1

Đưa

8

$8$ ra ngoài

24

$24$ .

\frac{8 \cdot 128}{8 \cdot 3}

$\frac{8 \cdot 128}{8 \cdot 3}$

Bước 6.2.16.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

\frac{8 \cdot 128}{8 \cdot 3}

$\frac{8 \cdot 128}{8 \cdot 3}$

Bước 6.2.16.2.3

Viết lại biểu thức.

\frac{128}{3}

$\frac{128}{3}$

\frac{128}{3}

$\frac{128}{3}$

\frac{128}{3}

$\frac{128}{3}$

\frac{128}{3}

$\frac{128}{3}$

\frac{128}{3}

$\frac{128}{3}$

Bước 7

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

\frac{128}{3}

$\frac{128}{3}$

Dạng thập phân:

42.\overline{6}

$42.\overline{6}$

Dạng hỗn số:

42 \frac{2}{3}

$42 \frac{2}{3}$

Bước 8